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【無(wú)理數(shù)的概念和定義無(wú)理數(shù)的概念】無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，與不可公度線(xiàn)段有關(guān)，與面積計(jì)算有關(guān)，也與方程求解有關(guān) 。雖然人們很早就發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)，但是，在很長(zhǎng)的一段時(shí)期內(nèi)，人們無(wú)法對(duì)無(wú)理數(shù)作出一個(gè)合理的解釋?zhuān)埠茈y給出清晰的符號(hào)表達(dá) 。事實(shí)上，實(shí)數(shù)理論的確立比微積分的出現(xiàn)還要晚。
人們總是習(xí)慣于從已有的概念出發(fā)，借助已有的概念來(lái)刻畫(huà)新的事物，但是卻遇到了“無(wú)理數(shù)”這樣的難題。雖然人們很早就發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)的存在，但是不能給出一個(gè)合理的解釋?zhuān)埠茈y給出清晰的符號(hào)表達(dá)，于是稱(chēng)這樣的數(shù)為無(wú)理數(shù) ，是一種沒(méi)有道理的數(shù) 。在這里，我們先來(lái)討論人們是怎樣發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)的，從中感悟無(wú)理數(shù)的本質(zhì)特征。

一．邊長(zhǎng)與對(duì)角線(xiàn)的不可公度
畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線(xiàn)與邊長(zhǎng)是不可公度的，即不能表示為整數(shù)之間的比例關(guān)系，這個(gè)發(fā)現(xiàn)基于一個(gè)表述直角三角形三個(gè)邊長(zhǎng)之間關(guān)系的定理。在中國(guó)，這個(gè)定理被稱(chēng)為勾股定理，在西方，這個(gè)定理被稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理。這個(gè)定理的一般表述為：令一個(gè)直角三角形的兩個(gè)直角邊和一個(gè)斜邊的邊長(zhǎng)分別為a,b和c，則有
a2+b2=c2
由定理可知，如果兩個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為a=1和b=1，則斜邊長(zhǎng)c=√2，但是√2不能表示為兩個(gè)整數(shù)之比的形式。
假設(shè)√2能夠表示為兩個(gè)整數(shù)比的形式，即√2=a/b，其中a和b為整數(shù)且沒(méi)有公因數(shù) 。則a2=2b2，于是a2為偶數(shù) ，因?yàn)橹挥信紨?shù)的平方才能為偶數(shù)（任何一個(gè)奇數(shù)可以表示為2n+1，由（2n+1）2=4n2+4n+1知，奇數(shù)的平方必為奇數(shù)），所有a為偶數(shù) 。因?yàn)閍和b沒(méi)有公因數(shù)，a為偶數(shù)則b必為奇數(shù) 。因?yàn)閍為偶數(shù) ，可設(shè)a=2c，其中 c為整數(shù) 。則a2=4c2，于是有4c2=2b2即2c2=b2,則b2為偶數(shù)且b為偶數(shù) 。b不可能又是奇數(shù)又是偶數(shù) ，因此，假設(shè)不成立，也就是√2不能表示為兩個(gè)整數(shù)比的形式。
因?yàn)楣畔ＥD人認(rèn)為可以用整數(shù)或者整數(shù)的比來(lái)度量一切事物， √2是有有悖于這個(gè)理念的，因此是不可理解的，于是，古希臘的大部分學(xué)者放棄了對(duì)算術(shù)的研究而熱衷于研究幾何。

二．圓周率
人們很早就知道圓的周長(zhǎng)為2πr，面積為πr2 ，其中r是圓的半徑，π為圓周率。但是，計(jì)算π是非常困難的，人們希望用一個(gè)可公度數(shù)來(lái)近似得到π 。因?yàn)槟崃_河的泛濫，為了調(diào)整泛濫后的土地，古埃及人掌握了土地面積測(cè)量與計(jì)算的技術(shù)，他們對(duì)于圓面積給出了很好的近似，《萊茵德紙草書(shū)》

第50題說(shuō)，直徑為9的圓形土地的面積等于邊長(zhǎng)為8的正方形土地的面積。如果用面積公式：82≈π*（9/2）2，可以得到π約等于16/9的平方，即256/81=3.1605，這是在公元前1700年左右得到的結(jié)果。當(dāng)然，僅就這一點(diǎn) ，我們還很難確定，當(dāng)時(shí)的古埃及人是否已經(jīng)建立了關(guān)于圓周率的概念。對(duì)于π的近似計(jì)算，古希臘物理學(xué)家，數(shù)學(xué)家阿基米德得到在22/7與223/71之間，祖沖之得到在22/7與355/113之間，其中22/7是計(jì)算圓內(nèi)接正96邊形的周長(zhǎng)得到的，355/113被稱(chēng)為密律，也稱(chēng)祖律。