三．面積與無(wú)理數(shù)
我們常用的求三角形面積的公式需要知道三角形的一個(gè)高，但是古希臘數(shù)學(xué)家海倫在他的《度量》一書(shū)中給出了一個(gè)只依賴于邊長(zhǎng)的公式：對(duì)于任意三角形，令三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a,b和c,令s為三角形周長(zhǎng)的一半 ， 即s=(a+b+c)/2，則三角形的面積為√s(s-a)(s-b)(s-c) 。顯然，這個(gè)數(shù)經(jīng)常為無(wú)理數(shù) 。
四．方程與無(wú)理數(shù)
古希臘代數(shù)的頂峰是在丟番圖時(shí)代 ， 他的重要貢獻(xiàn)之一就是在代數(shù)中引入了符號(hào)，甚至給出了相當(dāng)現(xiàn)在的1/x和x的3次以上冪的形式，在當(dāng)時(shí)這是極度抽象的符號(hào)，因?yàn)楣糯苏J(rèn)為2次冪是平方 ， 3次冪是立方，都是有具體的幾何背景的，3次以上冪無(wú)具體的幾何背景因而是無(wú)意義的 。丟番圖知道一元二次方程式有兩個(gè)根，但不知道如何處理這兩個(gè)根，于是，兩個(gè)根均為有理數(shù)時(shí)，他取較大的哪一個(gè)；根為無(wú)理數(shù)或者虛數(shù)時(shí)，他則認(rèn)為這個(gè)方程是不可解的 。這樣，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的發(fā)現(xiàn)在這里就是一個(gè)特例了，因?yàn)椤?是方程x2-2=0的一個(gè)根 。
丟番圖最感興趣的問(wèn)題是：方程的根是否是正整數(shù) 。他把許多重要的結(jié)果寫(xiě)在他的著作《算術(shù)》中，現(xiàn)在，人們稱求方程整數(shù)解的問(wèn)題為丟番圖問(wèn)題 。但是，丟番圖絕對(duì)不會(huì)想到的是 ， 他的《算術(shù)》一書(shū)引發(fā)了一個(gè)著名的猜想，這就是費(fèi)馬大定理 。費(fèi)馬大定理與勾股定理關(guān)系密切，在勾股定理a2+b2=c2中，a,b和c這三個(gè)數(shù)有可能同時(shí)是整數(shù) ， 比如a=3,b=4和c=5 。但是，費(fèi)馬猜想，平方的情況是特殊的，對(duì)于一般的等式an+bn=cn，當(dāng)n≧3時(shí)將不存在使a,b和c同時(shí)為整數(shù)的解 。費(fèi)馬把這個(gè)問(wèn)題寫(xiě)在《算術(shù)》這本書(shū)問(wèn)題8的頁(yè)邊：
“不可能將一個(gè)立方數(shù)寫(xiě)成兩個(gè)立方數(shù)之和；或者將一個(gè)4次冪寫(xiě)出兩個(gè)4次冪之和；或者，總地來(lái)說(shuō)，不可能將一個(gè)高于2次的冪寫(xiě)成兩個(gè)同樣次冪之和”
問(wèn)題是簡(jiǎn)潔的，證明卻是困難的 。經(jīng)歷了3個(gè)世紀(jì)，經(jīng)過(guò)幾代數(shù)學(xué)家的努力 ， 這個(gè)問(wèn)題于1993年被在普林斯頓任教的英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯解決，長(zhǎng)達(dá)130頁(yè)的論文發(fā)表于1995年 。
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