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讓計(jì)算變得簡單
歐拉公式e^(iπ)+1=0，被稱為數(shù)學(xué)中最完美的公式，公式中的e、π、i、1和0五個(gè)元素還分別被比喻成射雕英雄傳里的五大高手：東邪西毒南帝北丐中神通 。
鑒于常常有人在后臺問超模君，e和π為什么常常會出現(xiàn)在似乎不相關(guān)的領(lǐng)域？e和π之間有什么聯(lián)系嗎？e^π和π^e誰大？之類的問題 。
今天超模君就給大家扒一扒e和π 。
說到e，又得提歐拉了，哪哪都有他，真是一個(gè)神奇的男子 。自然數(shù)e正是以
LeonhardEuler(萊昂納德·歐拉)命名的，取的是Euler的首字母“e” 。
但，事實(shí)上第一個(gè)發(fā)現(xiàn)e的人不是歐拉，而是雅可比·伯努利（JacobBernoulli），伯努利是不是很熟悉？
在17~18世紀(jì)，伯努利家族是一個(gè)學(xué)術(shù)世家，雅可比·伯努利是約翰·伯努利（JohannBernoulli）的哥哥，而約翰·伯努利則是歐拉的數(shù)學(xué)老師 。
扯遠(yuǎn)了，我們回到e 。要去理解e的話，我們可以從生活中常見的例子講起，就是銀行利率與收益的問題 。
假如你有1塊錢存入銀行，銀行同意付給你100%的年利率 。
那么當(dāng)然到了一年后，你手里的錢就增長為（1+100%）=2塊錢；
現(xiàn)銀行同意按復(fù)利計(jì)算，把一年期的年利率拆成兩個(gè)半年期利率50%，那么年底到手的錢為：（1+50%）×（1+50%）=2.25塊錢；
現(xiàn)銀行按照季度計(jì)算復(fù)利，那么年底到手的錢為：（1+25%）×（1+25%）×（1+25%）×（1+25%）=2.44塊錢；
我們可以看到分的越細(xì)，總收入越多 。如果把這個(gè)復(fù)利計(jì)算過程繼續(xù)細(xì)分，按天算，年底到手的錢為：
如果在細(xì)分為時(shí)分秒呢？經(jīng)過迭代運(yùn)算，可以得到一下數(shù)值：
可以發(fā)現(xiàn)結(jié)算利率期數(shù)n越大，年底到手的錢越多，最終無限接近e值 。
也就是說，本金一塊錢定了，銀行的年利率（100%）定了，無論分多少期結(jié)算利息，年底到手的錢無限接近一個(gè)值（2.7183） 。
e的本質(zhì)含義就是累積增長的極限，e寫成高等數(shù)學(xué)微積分的形式，也是e的定義式為：
說到圓周率就簡單了，不就是圓的周長和直徑的比值嘛 。
圓周率π最早提出來是在1748年，歐拉的代表作《無窮小分析引論》出版，在這本著作里，歐拉建議用符號“π”來表示圓周率，并且直接在里面使用了π 。在歐拉的積極倡導(dǎo)下，π才成為了圓周率的代名詞 。
雖然π的定義很簡單，但是關(guān)于圓周率的計(jì)算卻歷經(jīng)了幾千年，都還沒有算到盡頭呀 。
最近的記錄是今年，3月14日，谷歌宣布圓周率現(xiàn)已到小數(shù)點(diǎn)后31.4萬億位 。
關(guān)于圓周率的計(jì)算方法五花八門，甚至到了無奇不有的境界（超模君在去年盤點(diǎn)過的算法傳送門） 。
說到圓周率還有一個(gè)不得不提的人，就是我國的數(shù)學(xué)家祖沖之 。
公元480年左右，南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之進(jìn)一步得出精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的結(jié)果，給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927 。正確位數(shù)達(dá)7位數(shù)，在那個(gè)時(shí)候可以說是非常精準(zhǔn)，在之后的900多年都沒人打破記錄 。
祖沖之牛批！
講完了e和π的出身了，那么e個(gè)π之間是否存在什么關(guān)系呢？
畢竟有時(shí)候會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：帶e的定積分積出來里頭有π，而三角函數(shù)的積分有一些積出來里頭有e 。
其實(shí)e和π在本質(zhì)上是沒有任何關(guān)系的 。
之所以出現(xiàn)“帶e的定積分積出來里頭有π，而三角函數(shù)的積分有一些積出來里頭有e”這種情況，是因?yàn)楦道锶~展開與e有關(guān)的函數(shù)，如e^x或者lnx在傅立葉展開后都可以變成一個(gè)三角函數(shù)的級數(shù)，只要取好合適的積分區(qū)間自然會出現(xiàn)π 。

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