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因?yàn)榫仃嚳梢曰蓪?duì)角元素都是其特征值的對(duì)角矩陣，而行列式的值不變，對(duì)角矩陣的行列式就是對(duì)角元素相乘。記矩陣為A ，記λ為A的特征值，按照定義有：f(λ)=det(A-λE)=0 ， f(λ)為A的特征多項(xiàng)式， A的所有特征值為f(λ)=0的根，根據(jù)韋達(dá)定理，方程的根的乘積與系數(shù)的關(guān)系，特征值的乘積恰好為矩陣A的主子式的代數(shù)和，而這個(gè)和等于detA 。所以特征值乘積等于行列式的值。

【特征值相乘為什么等于行列式特征值相乘為什么等于行列式的值】行列式的性質(zhì)：
1、行列式A中某行（或列）用同一數(shù)k乘，其結(jié)果等于kA 。
2、行列式A等于其轉(zhuǎn)置行列式AT 。
3、若n階行列式|αij|中某行（或列）；行列式則|αij|是兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式的第i行（或列），一個(gè)是b1 ， b2 ， … ， bn；另一個(gè)是с1 ， с2 ， … ， сn；其余各行（或列）上的元與|αij|的完全一樣。
4、行列式A中兩行（或列）互換，其結(jié)果等于-A 。⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一數(shù)后加到另一行（或列）中各對(duì)應(yīng)元上，結(jié)果仍然是A 。

拓展：
行列式定義的連加運(yùn)算中，每一項(xiàng)可以這么理解：
行列式每一行都選出一個(gè)數(shù)字進(jìn)行連乘，并且這些選出的數(shù)不能是同一列的。次數(shù)第二高的式子必須至少有n-1個(gè)(λ-aii) 。

然而|λI-A|的連加運(yùn)算中不可能有哪一項(xiàng)包含n-1個(gè)(λ-aii) 。因?yàn)槿绻嬖诎琻-1個(gè)(λ-aii)的項(xiàng) ，那么假設(shè)沒(méi)提供(λ-aii)的那行是第k行。
第k行必須從別的列上取一個(gè)數(shù) ，但是其他的n-1行提供的(λ-aii)把其他的n-1列都占用了并且還在對(duì)角線上。這導(dǎo)致第k行只能去第k列取數(shù) ，而k行k列顯然是(λ-akk) ，存在矛盾。
所以次數(shù)第二高的項(xiàng)也在（-1）τ(1 ， 2,··· ， n)П(λ-aii)中。