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主要內(nèi)容：
本題通過三角函數(shù)恒等變形和三角函數(shù)換元法兩種方法，介紹計算定積分∫dx/[√2 sin(x 1) cos(x 1)]的方法和步驟,并可以觀察出，同一個不定積分結(jié)果的表達(dá)式可以不唯一。

※.三角函數(shù)恒等變形法
I=∫dx/[√2 sin(x 1) cos(x 1)]，
根據(jù)公式sin(x π/4)=sinxcosπ/4 cosxsinπ/4變形為：
I==∫dx/{√2 √2[sin(x 1)cosπ/4 cos(x 1)sinπ/4]}
=∫dx/[√2 √2sin(x 1 π/4)]，以下提取公因數(shù)系數(shù)，
【cscx等于什么】=(1/√2)∫dx/[1 sin(x 1 π/4)]，以下根據(jù)sin^2x cosx^2=1變形為，
=(√2/2)∫dx/[sin(1/2)(x 1 π/4) cos(1/2)(x 1 π/4)]^2,
=(√2/2)∫dx/{√2sin[(1/2)(x 1 π/4) π/4]}^2
=(√2/4)∫dx/sin^2[(1/2)(x 1) 3π/8],以下根據(jù)公式cscx=1/sinx變形為，
=(√2/4)∫csc^2[(1/2)(x 1) 3π/8]dx，以下對微分微元dx進(jìn)行變形，
=(√2/2)∫csc^2[(1/2)(x 1) 3π/8]d[(1/2)(x 1)]，
以下有積分公式∫csc^2xdx=-cotx C變形得，
I =-(√2/2)cot[(1/2)(x 1) 3π/8] C 。

※.三角函數(shù)換元法
設(shè)tan(1/2)(x 1)=t，則x=(2arctant-1)，
同時由三角萬能公式有：
sin(x 1)=2t/(1 t^2)，cos(x 1)=(1-t^2)/(1 t^2),
代入所求不定積分，則：
I=∫dx/√2 sin(x 1) cos(x 1)，
=∫d[(2arctant-1)] /√2 2t/(1 t^2)(1-t^2)/(1 t^2)，
=2∫[1/(1 t^2) ]dt /{[√2(1 t^2) 2t (1-t^2)]/ (1 t^2)},
=2∫dt /[√2(1 t^2) 2t (1-t^2)],
以下對分母進(jìn)行關(guān)于t的二次函數(shù)變形為，
I =2∫dt /[(√2-1)(t √2 1)^2]
=2 (√2 1)∫dt /(t √2 1)^2，
以下根據(jù)不定積分公式∫dx/x^2=-1/x C計算得，
I =-2(√2 1)[1/(t √2 1)] C,
代入t =tan(1/2)(x 1)，即可計算出本題不定積分結(jié)果為，
I =-2(√2 1){1/[tan(1/2)(x 1) √2 1)]} C.