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今天是高等數(shù)學專題的第12篇，我們繼續(xù)來看定積分。
之前在講微分求導內(nèi)容的時候，介紹過一系列微分中值定理的推導。既然有微分中值定理，那么自然也有積分中值定理，我們下面就來看看積分中值定理的定義。
極值定理
極值定理也叫最大最小值定理，它的含義非常直觀：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)，必然存在最大值和最小值，并且取到最大值和最小值至少一次。
這是一個非常有名的定理，定理的內(nèi)容很直觀，也不難理解。但是證明它不太容易，是由區(qū)間套定理與B-M定理等多個定理推導得到的，這段證明過程比較復雜，由于篇幅和水平的限制，本文當中只能跳過這部分，感興趣的同學可以自行了解。
我們假設(shè)m和M分別是區(qū)間[a, b]上函數(shù)f(x)的最小值和最大值，那么根據(jù)極值定理，可以得到以下式子成立：

這個式子光看可能會覺得有些復雜，但是我們把圖畫出來之后非常簡單：

上圖當中灰色陰影部分就是定積分的結(jié)果，藍色的矩形面積是m(b-a)，大的矩形面積是M(b-a) 。
通過幾何面積的關(guān)系我們可以很容易證明結(jié)論。
數(shù)學證明也很簡單，由于m和M分別是最小值和最大值，所以我們可以得到 m <= f(x) <= M 。我們把常數(shù)也看成是函數(shù)，進行積分，于是可以得到：

兩邊積分的結(jié)果就是矩形面積，于是我們就得到了證明。
積分中值定理
極值定理非常簡單，但是是很多定理的基礎(chǔ)，比如我們的積分中值定理就和它密切相關(guān) 。
我們對上面的式子做一個簡單的變形，由于b-a是常數(shù)并且大于0，所以我們在

這個不等式兩邊同時除以b-a，可以得到：

我們把

這個式子看成一個整體，它的值位于函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值之間。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理，我們一定可以在[a, b]上找到一點 ξ，使得f(x)在 ξ 這點的取值與這個數(shù)值相等，也就是說：

上面這個式子就是積分中值定理了，這里有兩點要注意，我們先來說簡單的一點，就是我們用到了連續(xù)函數(shù)介值定理。所以限定了這必須是一個連續(xù)函數(shù)，否則的話，可能剛好函數(shù)在ξ點處沒有定義。這個也是定理成立的先決條件。
第二點是簡單介紹一下連續(xù)函數(shù)的介值定理，它的含義是說對于一個在區(qū)間[a, b]上連續(xù)的函數(shù)，對于任一在其最大值和最小值之間的常數(shù)，我們必然可以在區(qū)間[a, b]上找到一點，使得該點的函數(shù)值等于這個常數(shù) 。