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奇妙の自然常數(shù)e
自然常數(shù)e 是一個奇妙的數(shù)字 ， 這里的e 并不僅僅代表一個字母 ， 它還是一個數(shù)學(xué)中的無理常數(shù) ， 約等于2.718281828459 。
但你是否有想過 ， 它到底怎么來的呢？為啥一個無理數(shù)卻被人們稱之為“自然常數(shù)”？
說到e ， 我們會很自然地想起另一個無理常數(shù)π。π 的含義可以通過下圖中的內(nèi)接與外切多邊形的邊長逼近來很形象的理解 。
(圖片來源: betterexplained)
假設(shè)一個圓的直徑為1 ， 其外切與內(nèi)接多邊形的周長可以構(gòu)成π 的估計值的取值范圍上下限 ， 內(nèi)接與外切多邊形的邊越多 ， 取值范圍就越窄 ， 只要邊數(shù)足夠多 ， 取值范圍上下限就可以越來越逼近圓周率π。
如果說π 的計算很直觀 ， 那e 呢？所以在此也用一種圖解法來直觀理解e 。
首先 ， 我們需要知道e 這個表示自然底數(shù)的符號是由瑞士數(shù)學(xué)和物理學(xué)家Leonhard Euler(萊昂納德·歐拉)命名的 ， 取的正是Euler的首字母“e ” 。
Leonhard Euler (1707-1783)
(圖片來源: Wikipedia)
但實際上 ， 第一個發(fā)現(xiàn)這個常數(shù)的 ， 并非歐拉本人 ， 而是雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli） 。
伯努利家族
伯努利家族是17?18世紀(jì)瑞士的一個赫赫有名的家族 ， 其中出了很多著名的數(shù)理科學(xué)家 ， 雅可比·伯努利是約翰·伯努利（Johann Bernoulli）的哥哥 ， 而約翰·伯努利則是歐拉的數(shù)學(xué)老師 。總之 ， 大佬們之間有著千絲萬縷的聯(lián)系 。
要了解e 的由來 ， 一個最直觀的方法是引入一個經(jīng)濟學(xué)名稱“復(fù)利(Compound Interest)” 。
復(fù)利率法（英文：compound interest） ， 是一種計算利息的方法 。按照這種方法 ， 利息除了會根據(jù)本金計算外 ， 新得到的利息同樣可以生息 ， 因此俗稱“利滾利”、“驢打滾”或“利疊利” 。只要計算利息的周期越密 ， 財富增長越快 ， 而隨著年期越長 ， 復(fù)利效應(yīng)亦會越為明顯 。—— 維基百科
在引入“復(fù)利模型”之前 ， 先試著看看更基本的 “指數(shù)增長模型” 。
我們知道 ， 大部分細菌是通過二分裂進行繁殖的 ， 假設(shè)某種細菌1天會分裂一次 ， 也就是一個增長周期為1天 ， 如下圖 ， 這意味著：每一天 ， 細菌的總數(shù)量都是前一天的兩倍 。
(圖片來源: betterexplained)
顯然 ， 如果經(jīng)過x 天（或者說 ， 經(jīng)過x 個增長周期）的分裂 ， 就相當(dāng)于翻了x 倍 。在第x 天時 ， 細菌總數(shù)將是初始數(shù)量的2x 倍 。如果細菌的初始數(shù)量為1 ， 那么x 天后的細菌數(shù)量即為2x ：
如果假設(shè)初始數(shù)量為K ， 那么x 天后的細菌數(shù)量則為K·2x ：
因此 ， 只要保證所有細菌一天分裂一次 ， 不管初始數(shù)量是多少 ， 最終數(shù)量都將是初始數(shù)量的2x 倍 。因此也可以寫為：
上式含義是：第x 天時 ， 細菌總數(shù)量是細菌初始數(shù)量的Q 倍 。
如果將 “分裂”或“翻倍”換一種更文藝的說法 ， 也可以說是：“增長率為100%” 。那我們可以將上式寫為：
當(dāng)增長率不是100% ， 而是50%、25%之類的時候 ， 則只需要將上式的100%換成想要的增長率即可 。這樣就可以得到更加普適的公式：

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