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在高中，我們學過正弦函數(shù)，也知道一些特殊角度的正弦數(shù)值，如sin90°=1，sin60°=，sin45°=，sin30°=0.5 。但是對于其他非特殊角度的正弦值，我們就不太好計算了。最近，我在圖書館看到一本國外的科普書《天啊，幾何還能這樣學》，里面就聊到如何快速手算任意角度的正弦值，以及如何根據(jù)正弦值求解角度。里面介紹的方法很新穎，也很有效果，如下圖所示：

這種方法的原理是，當角度很小時，該角度所對的圓弧與半徑的比值與正弦值非常接近，誤差很小。這時，計算正弦值就轉換為計算圓弧與半徑的比值。如下圖所示，點A為圓心，AB、AD為圓的半徑，BD是角A所對應的圓弧，BC垂直AD于C 。當角A很小時，圓弧BD與線段BC的長度就非常接近。

假設AB=R，于是sinA°=BC/ABBD/AB=BD/R 。又因為BD=2R（A/360），于是sinA°BD/R=（A/360）=A/180 。當已知正弦值需要求角度時，A180*sinA°/ 。從中，我們可以看出來，當角度很小時，正弦值與角度接近成正比，利用這個特征，我們就能夠根據(jù)角度求解正弦值，以及根據(jù)正弦值求解角度。一、求sin1°~sin15°以及正弦值為0~0.259時對應的角度。因為sinA°BD/R=2（A/360）=A/180，于是：1、sin1°=1*/180=0.01745 。（查正弦表可知，sin1°=0.01745……，這時兩者小數(shù)點5位以內(nèi)數(shù)值都是一致的）2、sin2°=2*/180=0.03491 。（查正弦表可知，sin2°=0.03489……，這時兩者小數(shù)點3位以內(nèi)數(shù)值都是一致的）3、sin10°=10*/180=0.17453 。（查正弦表可知，sin10°=0.17364……，這時兩者小數(shù)點2位以內(nèi)數(shù)值都是一致的）4、sin15°=15*/180=0.26180 。（查正弦表可知，sin15°=0.25881……，這時兩者小數(shù)點1位以內(nèi)數(shù)值都是一致的，這時誤差為（0.26180-0.25881）/0.25881=1.15%，這個誤差還是相對比較小的，屬于可接受范圍。）于是當正弦值已知，且小于0.26時，我們就可以利用A180*sinA°/這個公式快速求出角度，下面我舉幾個例子：5、當正弦值為0.25時，這時我們要求的角度A180*sinA°/=180*0.25/=14.32° 。6、當正弦值為0.2時，這時我們要求的角度A180*sinA°/=180*0.2/=11.46° 。7、當正弦值為0.1時，這時我們要求的角度A180*sinA°/=180*0.1/=5.73° 。8、當正弦值為0.08時，這時我們要求的角度A180*sinA°/=180*0.08/=4.58° 。二、求sin15°~sin30°以及正弦值為0.259~0.5時對應的角度。1、sin30°=30*/180=0.52360 。（我們知道sin30°=0.5，這時依據(jù)上述方法算出來的誤差為（0.52360-0.5）/0.5=4.72%，這個誤差已經(jīng)很大了，是無法接受的。）2、這時為了降低誤差，我們需要利用勾股定理求出15度角的正弦值（sin15°）。

已知AB=AD，AC垂直于BD，角BAC=角DAC=15°，角BAE=30°，BE垂直于AD，于是BC=CD 。因為角BAE=30°，所以BE=AB，AE=AB，ED=AD-AE=AB 。在三角形BED中，?？捎嬎愕贸觯?。于是sin15°=BC/AB==0.258819……=0.259（取3位小數(shù)）又sin30°=0.5，所以（sin30°-sin15°）/15=0.01608=0.016（取3位小數(shù)）15°~30°，我們認為角度在增加，正弦值也隨之成比例增加，即角度每增加1°，正弦值隨之增加0.016 。3、于是：sin15°=0.259sin16°=0.259 0.016=0.275……sin20°=0.259 0.016*5=0.339（查正弦表可知，sin20°=0.342……，誤差很?。璼in25°=0.259 0.016*10=0.419（查正弦表可知，sin25°=0.422……，誤差很小）……同樣地，當正弦值已知，且處在0.259（sin15°）~0.5（sin30°）時，利用前面的結論“15°~30°，我們認為角度在增加，正弦值也隨之成比例增加，即角度每增加1°，正弦值隨之增加0.016”，我們可以根據(jù)正弦值快速求出相對應的角度：4、當正弦值為0.3時，這時我們要求的角度A=15 （0.3-0.259）/0.016=17.6° 。5、當正弦值為0.4時，這時我們要求的角度A=15 （0.4-0.259）/0.016=23.8° 。6、當正弦值為0.45時，這時我們要求的角度A=15 （0.45-0.259）/0.016=26.9° 。……三、求sin30°~sin45°以及正弦值為0.5~0.707時對應的角度。1、sin30°=0.5，sin45°=（取3位小數(shù)）2、（sin45°-sin30°）/15=0.01608=0.0138=0.014 。（取3位小數(shù)）3、30°~45°，我們認為角度在增加，正弦值也隨之成比例增加，即角度每增加1°，正弦值隨之增加0.014 。4、于是：sin30°=0.5sin31°=0.5 0.014=0.514……sin35°=0.5 0.014*5=0.570（查正弦表可知，sin35°=0.5735……，誤差很小）……sin40°=0.5 0.014*10=0.640（查正弦表可知，sin40°=0.6427……，誤差很?。璼in44°=0.5 0.014*14=0.696（查正弦表可知，sin44°=0.69465……，誤差很?。┩瑯拥兀斦抑狄阎姨幵?.5（sin30°）~0.707（sin45°）時，利用前面的結論“30°~45°，我們認為角度在增加，正弦值也隨之成比例增加，即角度每增加1°，正弦值隨之增加0.014”，我們可以根據(jù)正弦值快速求出相對應的角度：5、當正弦值為0.6時，這時我們要求的角度A=30 （0.6-0.5）/0.014=37.1° 。6、當正弦值為0.7時，這時我們要求的角度A=30 （0.7-0.5）/0.014=44.3° ?！摹⑶髎in45°~sin90°以及正弦值為0.707~1時對應的角度。1、如下圖，在直角三角形ABC中，角C是直角，角A 角B=90° 。2、于是：，等式兩邊同時除以。3、可得。4、于是