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泰勒公式的推導(dǎo)過程 泰勒公式是怎樣推導(dǎo)的

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泰勒公式的推導(dǎo)過程 泰勒公式是怎樣推導(dǎo)的


泰勒公式的推導(dǎo)過程為：若函數(shù)f（x）在包含x0的某個開區(qū)間（a，b）上具有（n＋1）階的導(dǎo)數(shù)，那么對于任一x∈（a，b），有f（x）＝f（x0）／0?。玣＇（x0）／1?。玣＇（x0）／2！＋．．．＋f（n）＇（x0）／n?。玆n（x） 。
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其中，Rn（x）＝f（n＋1）δ（x－x0）＾（n＋1）／（n＋1）！，此處的δ為x0與x之間的某個值 。f（x）稱為n階泰勒公式，其中，P（x）＝f（x0）＋f＇（x0）（x－x0）＋．．．＋f（n）（x0）（x－x0）＾n／n！稱為n次泰勒多項式 。
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x0由導(dǎo)數(shù)的定義可知，當函數(shù)f（x）在點x0處可導(dǎo)時，在點x0的鄰域U（x0）內(nèi)恒有f（x）＝f（x0）＋f＇（x0）（x-x0）＋o（x－x0） 。因為o（x－x0）是一個無窮小量，故有f（x）≈f（x0）＋f＇（x0）（x-x0） 。
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從幾何上看，它是用切線近似代替曲線 。然而，這樣的近似是比較粗糙的，而且只在點的附近才有近似意義 。為了改善上述不足，使得近似替代更加精密，數(shù)學(xué)家們在柯西中值定理的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出了泰勒中值定理（泰勒公式） 。

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