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cosx/sinx+cosx的不定積分 sinx cosx/√sinx-cosx的不定積分

cosx/sinx+cosx的不定積分是：∫(sinxcosx)/(sinx+cosx)dx=(1/2)(-cosx+sinx)-[1/(2√2)]ln|csc(x+π/4)-cot(x+π/4)|+C 。C為積分常數(shù) 。

解答過程如下：
∫(sinxcosx)/(sinx+cosx)dx
【cosx/sinx+cosx的不定積分 sinx cosx/√sinx-cosx的不定積分】=(1/2)∫(2sinxcosx)/(sinx+cosx)dx
=(1/2)∫[(1+2sinxcosx)-1]/(sinx+cosx)dx
=(1/2)∫(sin2x+2sinxcosx+cos2x)/(sinx+cosx)dx-(1/2)∫dx/(sinx+cosx)
=(1/2)∫(sinx+cosx)2/(sinx+cosx)dx-(1/2)∫dx/[√2sin(x+π/4)]
=(1/2)∫(sinx+cosx)dx-[1/(2√2)]∫csc(x+π/4)dx
=(1/2)(-cosx+sinx)-[1/(2√2)]ln|csc(x+π/4)-cot(x+π/4)|+C

記作∫f(x)dx或者∫f（高等微積分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C 。其中∫叫做積分號， f(x)叫做被積函數(shù) ， x叫做積分變量， f(x)dx叫做被積式， C叫做積分常數(shù)或積分常量，求已知函數(shù)的不定積分的過程叫做對這個函數(shù)進(jìn)行不定積分。如果f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù) ，即有一個函數(shù)F(x)使對任意x∈I ，都有F'(x)=f(x) ，那么對任何常數(shù)顯然也有[F(x)+C]'=f(x) 。即對任何常數(shù)C ，函數(shù)F(x)+C也是f(x)的原函數(shù) 。這說明如果f(x)有一個原函數(shù),那么f(x)就有無限多個原函數(shù) 。

設(shè)G(x)是f(x)的另一個原函數(shù) ，即?x∈I ， G'(x)=f(x) 。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 。
由于在一個區(qū)間上導(dǎo)數(shù)恒為零的函數(shù)必為常數(shù) ，所以G(x)-F(x)=C’(C‘為某個常數(shù)）。
這表明G(x)與F(x)只差一個常數(shù) 。因此,當(dāng)C為任意常數(shù)時，表達(dá)式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一個原函數(shù) 。也就是說f(x)的全體原函數(shù)所組成的集合就是函數(shù)族{F(x)+C+∞} 。