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矩陣相似于對(duì)角矩陣的判定方法

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矩陣相似于對(duì)角矩陣的判定方法

矩陣相似于對(duì)角矩陣的判定方法


n階矩陣若有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則它相似于對(duì)角矩陣 。
第一步：先求特征值；
第二步：求特征值對(duì)應(yīng)的特征向量；
現(xiàn)在就可以判斷一個(gè)矩陣能否對(duì)角化：
【矩陣相似于對(duì)角矩陣的判定方法】若矩陣的n重特征值對(duì)應(yīng)n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則它可以對(duì)角化 ， 否則不可以 。
令P=[P1,P2,……，Pn]，其中P1 ， P2，Pn是特征向量
則P^（-1）AP為對(duì)角矩陣，其對(duì)角線上的元素為相應(yīng)的特征值 。
對(duì)角矩陣（外文名：diagonal matrix）是一個(gè)主對(duì)角線之外的元素皆為0的矩陣，常寫(xiě)為diag（a1,a2,…，an） 。
對(duì)角矩陣可以認(rèn)為是矩陣中最簡(jiǎn)單的一種，對(duì)角矩陣的運(yùn)算包括和、差運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算、同階對(duì)角陣的乘積運(yùn)算，且結(jié)果仍為對(duì)角陣 。
如何判斷一個(gè)矩陣是否可以相似對(duì)角化的條件
n級(jí)矩陣A可對(duì)角化＜=＞A的屬于不同特征值的特征子空間維數(shù)之和為n 。

實(shí)際判斷方法：

1、先求特征值，如果沒(méi)有相重的特征值，一定可對(duì)角化；

2、如果有相重的特征值λk，其重?cái)?shù)為k，那么你通過(guò)解方程（λkE-A）X=0得到的基礎(chǔ)解系中的解向量若也為k個(gè) ， 則A可對(duì)角化，若小于k，則A不可對(duì)角化 。

此外，實(shí)對(duì)稱矩陣一定可對(duì)角化 。

擴(kuò)展資料：

若n階矩陣A有n個(gè)不同的特征值 ， 則A必能相似于對(duì)角矩陣 。

說(shuō)明：當(dāng)A的特征方程有重根時(shí) ， 就不一定有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而未必能對(duì)角化 。

設(shè)M為元素取自交換體K中的n階方陣 ， 將M對(duì)角化，就是確定一個(gè)對(duì)角矩陣D及一個(gè)可逆方陣P，使M=PDP-1 。設(shè)f為典范對(duì)應(yīng)于M的Kn的自同態(tài) ， 將M對(duì)角化 ， 就是確定Kn的一個(gè)基，使在該基中對(duì)應(yīng)f的矩陣 。


如何判斷一個(gè)矩陣是否可以相似對(duì)角化
1°先看是不是實(shí)對(duì)稱矩陣，如果是可以對(duì)角化，如果不是看第二步
2°算矩陣的特征值 ， 如果特征值都不同 ， 則可以對(duì)角化，若特征值有重根再看第三步
3°算有重根的特征值對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式的秩，如果秩等于矩陣的階數(shù)減去重?cái)?shù)，也就是這個(gè)公式r(λiE-A)＝n-ni，相等則可對(duì)角化，不等則可以判斷該矩陣不能對(duì)角化
按上面三步一定可以判斷出，也是做題最節(jié)約時(shí)間的步奏

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