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計(jì)算三角形面積的公式 已知三邊求三角形面積公式

云知道

很多時候，我們知道三角形三邊的長 ， 要求三角形的面積 。你知道怎樣求嗎？
設(shè)三角形三邊長為a、b、c，作c邊上的高h(yuǎn)把c分成兩段x和y 。我們的做法是先求出高h(yuǎn)的長度，進(jìn)而用最基本的面積公式S△ABC=ch/2求出三角形的面積 。

計(jì)算三角形面積的公式 已知三邊求三角形面積公式


三角形面積公式推導(dǎo)
由勾股定理得：
a2-x2=b2-y2 ， ①
x+y=c 。②
②代入①得：
a2-x2=b2-(c-x)2=b2-c2-x2+2cx，
x=(a2+c2-b2)/2c 。③
③代入②得：
y=(b2+c2-a2)/2c 。④
我們用③或④都可以求出h 。
h2=a2-x2
=a2-((a2+c2-b2)/2c)2
=(2a2b2+2b2c2+2c2a2-a?-b?-c?)/4c2
這樣得到的h有四次方，數(shù)據(jù)比較大，不太好算 。我們可以想辦法化成好算的形式 。
我們看它的分子部分：
2a2b2+2b2c2+2c2a2-a?-b?-c?
這是一種對稱形式，應(yīng)該可以分解因式 。那么，怎樣去分解因式呢？
我們先考察以下多項(xiàng)式的平方：
(a2+b2+c2)2
=a?+b?+c?+2a2b2+2a2c2+2b2c2，
(a2+b2-c2)2
=a?+b?+c?+2a2b2-2a2c2-2b2c2，即
-(a2+b2-c2)2
=-a?-b?-c?-2a2b2+2a2c2+2b2c2，
這個有點(diǎn)像，還有一個項(xiàng)符號不同 。
等式兩邊同時加上4a2b2：
4a2b2-(a2+b2-c2)2
=-a?-b?-c?+2a2b2+2a2c2+2b2c2
所以有
-a?-b?-c?+2a2b2+2a2c2+2b2c2
=4a2b2-(a2+b2-c2)2
=(2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)
=((a+b)2-c2)(c2-(a2-b2))
=(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)
所以，
h2=(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)/4c2，
h=√((a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b))/2c，
【計(jì)算三角形面積的公式 已知三邊求三角形面積公式】S△ABC=ch/2
=√((a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b))/4 。
這個三角形面積公式?jīng)]有平方項(xiàng)，比較好算 。
還可以把4放進(jìn)根號里面繼續(xù)化簡：
S△ABC
=√(((a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b))/16)
=√(((a+b+c)/2)((a+b-c)/2)((c+a-b)/2)((c-a+b)/2))
=√(((a+b+c)/2)((a+b+c-2c)/2)((c+a+b-2b)/2)((c+a+b-2a)/2))
(a+b+c)/2是周長的一半，記為p，則
S△ABC=√(p(p-a)(p-b)(p-c)) 。
這就是著名的海倫公式 。這種形式計(jì)算量最小，也比較好記 。
總結(jié)一下：在推導(dǎo)用三角形的三邊長求三角形的面積時 ， 在化簡過程中遇到分解因式，最終化成比較簡便的形式，便于計(jì)算和記憶 。

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