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今天是概率統(tǒng)計(jì)專題的第六篇，我們來看看方差相關(guān)的概念。
方差的定義
方差在我們的日常生活當(dāng)中非常常見，它主要是為了提供樣本離群程度的描述。舉個(gè)簡單的例子，我們?nèi)ベI一包薯片，一般來說一袋薯片當(dāng)中的數(shù)量是固定的。我們假設(shè)平均每袋當(dāng)中都有50片薯片好了，即使是機(jī)器灌裝，也不可能做到每一袋都剛好是50片，或多或少都會(huì)有些誤差。而均值則無法衡量這種誤差。
如果現(xiàn)在有兩個(gè)薯片品牌，它們的口味都差不多，平均每袋也都是50片。但是其中A品牌的薯片有一半是80片，還有一半是20片。B品牌呢，99%都在45-55之間。你說你會(huì)買哪一個(gè)牌子呢？（在不考慮通過稱重的情況下）。
在現(xiàn)代社會(huì)，凡是工廠出廠的產(chǎn)品，基本上都離不開方差這個(gè)概念。方差越低，說明工廠的生產(chǎn)能力越強(qiáng)，能夠做到每一個(gè)產(chǎn)品都很精細(xì)，相反如果方差越大，則說明瑕疵很多，不夠精細(xì) 。也就是說，方差衡量的是樣本距離均值的期望。
它本來應(yīng)該寫成：E|X – E(X)| 。
但是由于式子當(dāng)中存在絕對值，我們通常會(huì)對它平方，從而將絕對值消掉。寫成：

協(xié)方差通俗理解例子協(xié)方差函數(shù)計(jì)算公式推導(dǎo)過程

這里的E表示期望，這是統(tǒng)計(jì)學(xué)當(dāng)中的寫法，如果看不明白，我們也可以把式子展開寫成：

這里的N表示的是樣本數(shù)量，X bar 是樣本的均值。Var是英文variance的縮寫，我們也可以寫成D(X) 。
由于方差是通過平方計(jì)算得到的，我們也可以將它進(jìn)行開方，得到標(biāo)準(zhǔn)差。根號D(X)，也可以寫成σ(X) 。
方差的性質(zhì)
關(guān)于方差有幾個(gè)著名的性質(zhì)，如果X是變量，而C是常數(shù) 。那么：

也就是對于每一個(gè)變量都乘上一個(gè)常數(shù)，那么整體的方差擴(kuò)大C的平方倍。這個(gè)很好理解，因?yàn)闃颖局禂U(kuò)大了C倍，由于我們在計(jì)算方差的時(shí)候用到了平方，那么自然就是擴(kuò)大了C的平方倍。我們利用上面展開的公式代入可以很容易得到證明。
下一個(gè)性質(zhì)是：

也就是全體樣本加上一個(gè)常數(shù)，整體的方差不變。如果我們的樣本不是一個(gè)值，而是一個(gè)向量的話，那么這個(gè)公式可以拓展成樣本加上一個(gè)常數(shù)向量，樣本的方差保持不變。這個(gè)也很好理解，樣本加上一個(gè)常數(shù)向量，相當(dāng)于整體朝著向量的方向移動(dòng)了一個(gè)距離，對于整體的分布并不會(huì)影響。
如果某個(gè)樣本X的方差為0，那么說明樣本內(nèi)只有一個(gè)值。
下面一個(gè)性質(zhì)稍微復(fù)雜一點(diǎn)：

也就是說方差等于樣本平方的期望減去樣本期望的平方，我們光從定義上很難得出這個(gè)結(jié)論，需要通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)：

在有些時(shí)候，我們直接求解樣本的方差不太方便，而求解平方的期望很容易，這個(gè)時(shí)候我們可以考慮使用這個(gè)公式進(jìn)行代換。
方差與協(xié)方差
方差我們一般不直接在機(jī)器學(xué)習(xí)當(dāng)中進(jìn)行使用，更多的時(shí)候是用在特征分析當(dāng)中，查看特征的方差來感知它的離散情況，決定要不要對特征進(jìn)行一些處理。因?yàn)閷τ谝恍┠Ｐ蛠碚f，如果特征的方差過大，那么模型可能很難收斂，或者是收斂的效果可能會(huì)受到影響。這個(gè)時(shí)候往往需要考慮使用一些方法對特征值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。