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除了方差之外，還有一個(gè)類(lèi)似的概念也經(jīng)常被用到，就是用來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間相關(guān)性的協(xié)方差。
協(xié)方差的公式其實(shí)和方差也有脫不開(kāi)的關(guān)系，我們先來(lái)簡(jiǎn)單推導(dǎo)一下。
首先，我們來(lái)看一下D(X+Y)，這里X和Y是兩個(gè)變量，D(X+Y)就表示X+Y的方差，我們來(lái)看下D(X+Y)和D(X)和D(Y)之間的關(guān)系。
我們可以來(lái)推導(dǎo)一下，根據(jù)方差的定義：

協(xié)方差通俗理解例子協(xié)方差函數(shù)計(jì)算公式推導(dǎo)過(guò)程

這里的N是一個(gè)常量，我們可以忽略，只用來(lái)看分子即可。我們把式子展開(kāi)：

我們看下上面化簡(jiǎn)之后的結(jié)果：

在這個(gè)式子當(dāng)中D(X)，D(Y)都是固定的，并不會(huì)隨XY是否相關(guān)而發(fā)生變化。但是后面一項(xiàng)不是，它和XY的相關(guān)性有關(guān) 。
我們可以用這一項(xiàng)來(lái)反應(yīng)X和Y之間的相關(guān)性，這就是協(xié)方差的公式：

【協(xié)方差通俗理解例子協(xié)方差函數(shù)計(jì)算公式推導(dǎo)過(guò)程】所以協(xié)方差反應(yīng)的不是變量的離散和分布情況，而是兩個(gè)變量之間的相關(guān)性。到這里，我們可能還不太看得清楚，沒(méi)有關(guān)系，我們?cè)賹?duì)它做一個(gè)簡(jiǎn)單的變形，將它除以?xún)烧叩臉?biāo)準(zhǔn)差：

這個(gè)形式已經(jīng)非常像是兩個(gè)向量夾角的余弦值，它就是大名鼎鼎的皮爾遜值。皮爾遜值和余弦值類(lèi)似，可以反映兩個(gè)分布之間的相關(guān)性，如果p值大于0，說(shuō)明兩組變量成正相關(guān)，否則則成負(fù)相關(guān) 。我們可以通過(guò)計(jì)算證明p值是一個(gè)位于-1到1之間的數(shù) 。
如果p值等于0，說(shuō)明X和Y完全獨(dú)立，沒(méi)有任何相關(guān)性。如果p值等于1，說(shuō)明可以找到相應(yīng)的系數(shù)W和b使得Y = WX+b 。
結(jié)尾
在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域當(dāng)中，計(jì)算兩組變量之間的相關(guān)性非常重要。因?yàn)楸举|(zhì)上來(lái)機(jī)器學(xué)習(xí)的模型做的就是通過(guò)挖掘特征和預(yù)測(cè)值之間的相關(guān)性來(lái)完成預(yù)測(cè)，如果某一組特征和預(yù)測(cè)值之間是完全獨(dú)立的，那么它對(duì)于模型來(lái)說(shuō)就是無(wú)用的，無(wú)論我們選擇什么樣的模型都是如此。
所以，我們經(jīng)常會(huì)通過(guò)分析特征和label之間的皮爾遜值來(lái)衡量特征的重要程度，從而對(duì)特征進(jìn)行取舍和再加工。如果單純只看皮爾遜值和它的公式，很難完全理解和記住，而我們從方差入手，將整個(gè)鏈路梳理了一遍，則要容易得多，即使以后忘記了，也可以根據(jù)它們之間的關(guān)系重新推導(dǎo) 。