今天老黃要利用拉格朗日中值定理證明幾個不等式，其中最后一個不等式還是比較重要的 。是關(guān)于正弦函數(shù)的一個不等式 。下面看題：證明：(1)若函數(shù)f在[a,b]上可導，且f’(x)≥m，則f(b)≥f(a)+m(b-a)；(2)若函數(shù)f
今天老黃要利用拉格朗日中值定理證明幾個不等式，其中最后一個不等式還是比較重要的 。是關(guān)于正弦函數(shù)的一個不等式 。下面看題：
證明：(1)若函數(shù)f在[a,b]上可導，且f’(x)≥m，則f(b)≥f(a)+m(b-a)；
(2)若函數(shù)f在[a,b]上可導，且|f’(x)|≤M，則|f(b)-f(a)|≤M(b-a)；
(3)對任意實數(shù)x1,x2都有|sinx1-sinx2|≤|x1-x2|.
分析：(1)(2)都已知函數(shù)f在[a,b]上可導，那么f就在[a,b]上連續(xù)，且也在(a,b)上可導，這就符合拉格朗日中值定理的條件 。因此在(a,b)上存在一點ξ，使得f\'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a).
(1)中因為f\'(x)>=m, 所以(f(b)-f(a))/(b-a)>=m，兩邊同時乘以正數(shù)(b-a), 就可以得到f(a)>=f(a)+m(b-a). 從而(1)得證 。
【如何利用拉格朗日中值定理證明幾個不等式,注意最后一個不等式】(2)中因為|f’(x)|≤M，所以|f(b)-f(a)|/(b-a)<=M，兩邊同時乘以正數(shù)(b-a)，就可以得到|f(b)-f(a)|≤M(b-a). 從而(2)也得證 。
(3)既可以利用拉格朗日中值定理證明，也可以利用(2)的結(jié)論證明 。先看怎么利用拉格朗日定理證明 。
因為sinx在R上可導，因此在任意閉區(qū)間上可導 。這里并沒有指定x1,和x2的大小，因此這個區(qū)間既可能是[x1,x2]，也有可能是[x2,x1] 。我們也可以假設(shè)成其中的一種情況 。不論是哪種情況，sinx都在這個區(qū)間上符合拉格朗日中值定理 。
因此在對應的開區(qū)間上存在一個點ξ，使得(sinξ)\'=cosξ=(sinx1-sinx2)/(x1-x2). 而|cosξ|<=1，所以|(sinx1-sinx2)/(x1-x2)|<=1，兩邊同時乘以|x1-x2|，就可以得到|sinx1-sinx2|≤|x1-x2|.得證！
再來看利用(2)的結(jié)論證明的方法 。(2)中只要函數(shù)在閉區(qū)間上可導，sinx正好符合 。且函數(shù)的導函數(shù)有界 。sinx的導函數(shù)是cosx也符合 。這樣就可以由(2)的結(jié)論，得到要證明的不等式了 。下面組織解題過程：
推薦閱讀
- 如何開展民主生活的主題活動班會
- 如何開展好經(jīng)常性思想工作
- 12306如何修改綁定手機
- 如何開展教研室工作
- 如何查看機油標尺
- 如何開展班級讀書活動
- 快手號碼綁定如何注銷
- 如何開展高效的翻轉(zhuǎn)課堂教學
- win10如何安裝打印機驅(qū)動 win10安裝打印機驅(qū)動程序的操作步驟
- 美圖秀秀如何給圖片加邊框