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有理數(shù)的定義：有理數(shù)是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的集合。無(wú)理數(shù)的定義：無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，是所有非有理數(shù)的實(shí)數(shù) 。無(wú)理數(shù)是指實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，比如圓周率。

有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的定義有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的定義和區(qū)別

有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的區(qū)別有理數(shù)和無(wú)理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫成有限小數(shù) 。所有的有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比，而無(wú)理數(shù)卻不能寫成兩個(gè)整數(shù)之比。常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有非完全平方數(shù)的平方根、π和e(其中后兩者均為超越數(shù))等。無(wú)理數(shù)的另一特征是無(wú)限的連分?jǐn)?shù)表達(dá)式。無(wú)理數(shù)最早由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派弟子希伯索斯發(fā)現(xiàn) 。
有理數(shù)集是整數(shù)集的擴(kuò)張。在有理數(shù)集，加法、減法、乘法、除法(除數(shù)不為零)4種運(yùn)算通行無(wú)阻。無(wú)理數(shù)是指實(shí)數(shù)范圍不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù) 。簡(jiǎn)單的說(shuō)，無(wú)理數(shù)就是10進(jìn)制下的無(wú)限不循環(huán)小數(shù) 。
有理數(shù)的名字由來(lái)“有理數(shù)”這一名稱不免叫人費(fèi)解，有理數(shù)并不比別的數(shù)更“有道理” 。事實(shí)上，這似乎是一個(gè)翻譯上的失誤。有理數(shù)一詞是從西方傳來(lái)，在英語(yǔ)中是rational number，而rational通常的意義是“理性的” 。中國(guó)在近代翻譯西方科學(xué)著作，依據(jù)日語(yǔ)中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數(shù)” 。
但是，這個(gè)詞來(lái)源于古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思(這里的詞根是英語(yǔ)中的，希臘語(yǔ)意義與之相同) 。所以這個(gè)詞的意義也很顯豁，就是整數(shù)的“比” 。與之相對(duì)，“無(wú)理數(shù)”就是不能精確表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，而并非沒(méi)有道理。

無(wú)理數(shù)的由來(lái)畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras，約公元前580年至公元前500年間)是古希臘的大數(shù)學(xué)家。他證明許多重要的定理，包括后來(lái)以他的名字命名的畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)，即直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積之和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積。畢達(dá)哥拉斯將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用得純熟之后，覺(jué)得不能只滿足于用來(lái)算題解題，于是他試著從數(shù)學(xué)領(lǐng)域擴(kuò)大到哲學(xué)，用數(shù)的觀點(diǎn)去解釋一下世界。
經(jīng)過(guò)一番刻苦實(shí)踐，他提出“萬(wàn)物皆為數(shù)”的觀點(diǎn)：數(shù)的元素就是萬(wàn)物的元素，世界是由數(shù)組成的，世界上的一切沒(méi)有不可以用數(shù)來(lái)表示的，數(shù)本身就是世界的秩序。
公元前500年，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子希伯索斯(Hippasus)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對(duì)角線與其一邊的長(zhǎng)度是不可公度的(若正方形的邊長(zhǎng)為1，則對(duì)角線的長(zhǎng)不是一個(gè)有理數(shù))，這一不可公度性與畢氏學(xué)派的“萬(wàn)物皆為數(shù)”(指有理數(shù))的哲理大相徑庭。
這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐，認(rèn)為這將動(dòng)搖他們?cè)趯W(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位，于是極力封鎖該真理的流傳，希伯索斯被迫流亡他鄉(xiāng)，不幸的是，在一條海船上還是遇到畢氏門徒。被畢氏門徒殘忍地投入了水中殺害 ?？茖W(xué)史就這樣拉開(kāi)了序幕，卻是一場(chǎng)悲劇。
希伯索斯的發(fā)現(xiàn)，第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷，證明了它不能同連續(xù)的無(wú)限直線等同看待，有理數(shù)并沒(méi)有布滿數(shù)軸上的點(diǎn)，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“孔隙” 。而這種“孔隙”經(jīng)后人證明簡(jiǎn)直多得“不可勝數(shù)” 。
于是，古希臘人把有理數(shù)視為連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想徹底地破滅了。不可公度量的發(fā)現(xiàn)連同芝諾悖論一同被稱為數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，對(duì)以后2000多年數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，促使人們從依靠直覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)而轉(zhuǎn)向依靠證明，推動(dòng)了公理幾何學(xué)和邏輯學(xué)的發(fā)展，并且孕育了微積分思想萌芽。