龐加萊猜想的內容是：1904年，法國數學家亨利·龐加萊提出了一個拓撲學的猜想，任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚于一個三維的球面 。
解釋：一個閉的三維流形就是一個有邊界的三維空間 ， 單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續(xù)的收縮成一點，或者說在一個封閉的三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點，這個空間就一定是一個三維圓球 。后來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為高維龐加萊猜想 。
【龐加萊猜想應該怎么解釋】類比舉例：如果伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，可以既不扯斷它 ， 也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點 。另一方面，如果想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的 。因此說，蘋果表面是單連通的，而輪胎面不是 。
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