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有界函數(shù)不一定有極限，比如函數(shù)y=sinx，當(dāng)x趨于無窮時(shí)，極限不存在。有限個(gè)有界函數(shù)的和、差、積必有界。極限存在只是函數(shù)有界的充分條件，而非必要條件，即函數(shù)有界但函數(shù)極限不一定存在。

如果函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，那么在這個(gè)點(diǎn)附近一定有一個(gè)鄰域，這個(gè)鄰域中函數(shù)是有界的。
有界函數(shù)是設(shè)f（x）是區(qū)間E上的函數(shù)，若對于任意的x屬于E，存在常數(shù)m、M，使得m≤f（x）≤M，則稱f（x）是區(qū)間E上的有界函數(shù) 。其中m稱為f（x）在區(qū)間E上的下界，M稱為f（x）在區(qū)間E上的上界。
有界函數(shù)并不一定是連續(xù)的。根據(jù)定義，?在D上有上（下）界，則意味著值域?（D）是一個(gè)有上（下）界的數(shù)集。根據(jù)確界原理，?在定義域上有上（下）確界。
一個(gè)特例是有界數(shù)列，其中X是所有自然數(shù)所組成的集合N 。由?（x）=sinx所定義的函數(shù)f：R→R是有界的。當(dāng)x越來越接近－1或1時(shí)，函數(shù)的值就變得越來越大。

函數(shù)的性質(zhì)：
1、單調(diào)性
閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必有界。其逆命題不成立。
2、連續(xù)性
閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有界。其逆命題不成立。
3、可積性
閉區(qū)間上的可積函數(shù)必有界。其逆命題不成立。

相關(guān)概念：
如果一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n趨向于無窮大時(shí)，數(shù)列的極限存在，那么就稱這個(gè)數(shù)列收斂。
而對于函數(shù)，如果一個(gè)函數(shù)的自變量趨向于X0（或∞）時(shí)，它的因變量趨向某個(gè)特定值或者趨向∞那么就稱函數(shù)在X0（或無窮大）處有極限。
【有界函數(shù)一定有極限嗎有界函數(shù)一定是有極限的嗎】若一個(gè)數(shù)列收斂，那么這個(gè)數(shù)列就是有界數(shù)列，若一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)處有極限，那么這個(gè)函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)處的去心領(lǐng)域內(nèi)有界，也就是說局部有界。