2、霍奇猜想
二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了研究復(fù)雜對(duì)象的形狀的強(qiáng)有力的辦法 。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對(duì)象的形狀通過把維數(shù)不斷增加的簡(jiǎn)單幾何營造塊粘合在一起來形成 。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導(dǎo)致一些強(qiáng)有力的工具，使數(shù)學(xué)家在對(duì)他們研究中所遇到的形形色色的對(duì)象進(jìn)行分類時(shí)取得巨大的進(jìn)展 。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點(diǎn)變得模糊起來 。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件 ?；羝娌孪霐嘌?，對(duì)于所謂射影代數(shù)簇這種特別完好的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實(shí)際上是稱作代數(shù)閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合 。
3、龐加萊猜想
如果我們伸縮圍繞一個(gè)蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動(dòng)收縮為一個(gè)點(diǎn) 。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個(gè)輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點(diǎn)的 。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是 。大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點(diǎn)有單位距離的點(diǎn)的全體)的對(duì)應(yīng)問題 。這個(gè)問題立即變得無比困難，從那時(shí)起，數(shù)學(xué)家們就在為此奮斗 。
在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼在發(fā)表了三篇論文預(yù)印本，并聲稱證明了幾何化猜想 。
在佩雷爾曼之后，先后有2組研究者發(fā)表論文補(bǔ)全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細(xì)節(jié) 。這包括密西根大學(xué)的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學(xué)的約翰·摩根和麻省理工學(xué)院的田剛 。
2006年8月，第25屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)授予佩雷爾曼菲爾茲獎(jiǎng) 。數(shù)學(xué)界最終確認(rèn)佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想 。
4、黎曼假設(shè)
有些數(shù)具有不能表示為兩個(gè)更小的數(shù)的乘積的特殊性質(zhì)，例如，2、3、5、7……等等 。這樣的數(shù)稱為素?cái)?shù)；它們?cè)诩償?shù)學(xué)及其應(yīng)用中都起著重要作用 。在所有自然數(shù)中，這種素?cái)?shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式；然而，德國數(shù)學(xué)家黎曼(1826~1866)觀察到，素?cái)?shù)的頻率緊密相關(guān)于一個(gè)精心構(gòu)造的所謂黎曼zeta函數(shù)ζ(s)的性態(tài) 。著名的黎曼假設(shè)斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上 。這點(diǎn)已經(jīng)對(duì)于開始的1,500,000,000個(gè)解驗(yàn)證過 。證明它對(duì)于每一個(gè)有意義的解都成立將為圍繞素?cái)?shù)分布的許多奧秘帶來光明 。
黎曼假設(shè)之否認(rèn)：
其實(shí)雖然因素?cái)?shù)分布而起，但是卻是一個(gè)歧途，因?yàn)閭嗡財(cái)?shù)及素?cái)?shù)的普遍公式告訴我們，素?cái)?shù)與偽素?cái)?shù)由它們的變量集決定的 。具體參見偽素?cái)?shù)及素?cái)?shù)詞條 。
5、楊-米爾斯存在性和質(zhì)量缺口
量子物理的定律是以經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律對(duì)宏觀世界的方式對(duì)基本粒子世界成立的 。大約半個(gè)世紀(jì)以前，楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對(duì)象的數(shù)學(xué)之間的令人注目的關(guān)系 ?；跅睿谞査狗匠痰念A(yù)言已經(jīng)在如下的全世界范圍內(nèi)的實(shí)驗(yàn)室中所履行的高能實(shí)驗(yàn)中得到證實(shí)：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和駐波 。盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的方程沒有已知的解 。特別是，被大多數(shù)物理學(xué)家所確認(rèn)、并且在他們的對(duì)于“夸克”的不可見性的解釋中應(yīng)用的“質(zhì)量缺口”假設(shè)，從來沒有得到一個(gè)數(shù)學(xué)上令人滿意的證實(shí) 。在這一問題上的進(jìn)展需要在物理上和數(shù)學(xué)上兩方面引進(jìn)根本上的新觀念 。
6、納衛(wèi)爾-斯托可方程的存在性與光滑性
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