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科學(xué)家找到驗證辦法,無窮大

云知道科學(xué)家

如果s等于1 ， 即前面的調(diào)和級數(shù) ， 級數(shù)和就是發(fā)散的 ， 結(jié)果是無窮大 。如果是無窮大 ， 那些方法算出來的結(jié)果沒有意義 ， 這就如同要規(guī)定被減數(shù)必須大于減數(shù)一樣 。對于下面這個級數(shù) ， 即調(diào)和級數(shù)：Z＝1/1＋1/2＋1/3＋1/4＋……無限地加下去 ， 結(jié)果等于多少呢？看似它后面的各項越來越小 ， 總和并不會收斂到一個有限的數(shù) ， 而是無窮大 。
如何描述無窮大和無窮小？

科學(xué)家找到驗證辦法,無窮大


這看似荒唐的結(jié)論 ， 道出了數(shù)學(xué)和實驗科學(xué)的區(qū)別 。當時大家缺乏對數(shù)學(xué)一些背景知識的了解 ， 因此無法講得很透 。這回我們學(xué)了很多數(shù)學(xué)的道理 ， 能夠講得比較清楚了 。在上面的問題中 ， 首先涉及到數(shù)學(xué)上一個被稱為“延拓”的概念 。什么是延拓呢？比如我們過去做減法 ， 2-3的結(jié)果就不是自然數(shù)了 ， 因此最早人們只能規(guī)定 ， 減法必須是大數(shù)減去小數(shù) ， 不能反過來 。
但是 ， 后來人們就在想 ， 如果我維持減法的邏輯 ， 能否擴展一下數(shù)的范圍 ， 看看在這樣的邏輯下 ， 得到什么結(jié)果呢？于是人們就拓展出負數(shù) ， 而且根據(jù)和大數(shù)減小數(shù)完全一樣的邏輯 ， 得到了-1這個結(jié)果 。這就是將減法這種運算延拓到更大的定義空間 。類似的 ， 我們前面講了 ， 將-1的平方根定義為虛數(shù)i ， 也是對開方運算的“延拓” 。注意 ， 延拓的要求是計算的邏輯和原來完全相同 。
你可以簡單地把延拓理解為在想象的世界里 ， 一次合乎邏輯的認知升級 。上面那個問題 ， 其實也涉及到級數(shù)（也就是數(shù)列相加）這個運算的延拓 。我們在前面講過 ， 一個等比級數(shù) ， 如果比值小于1 ， 它最終的和就是一個有限的數(shù) 。但是對于下面這個級數(shù) ， 即調(diào)和級數(shù)：Z＝1/1＋1/2＋1/3＋1/4＋……無限地加下去 ， 結(jié)果等于多少呢？看似它后面的各項越來越小 ， 但是總和并不會收斂到一個有限的數(shù) ， 而是無窮大 。
【科學(xué)家找到驗證辦法,無窮大】以后 ， 人們發(fā)現(xiàn) ， 各種計算級數(shù)的方法 ， 能夠使用的前提就是 ， 最終加起來需要是一個有限的數(shù) 。如果是無窮大 ， 那些方法算出來的結(jié)果沒有意義 ， 這就如同要規(guī)定被減數(shù)必須大于減數(shù)一樣 。對于上面這一類調(diào)和級數(shù) ， 歐拉發(fā)現(xiàn)稍微作一點調(diào)整 ， 它就會收斂 ， 比如我們計算：歐拉發(fā)現(xiàn) ， 它是一個有限的數(shù) ， 恰巧等于圓周率π^2/6 。再接下來 ， 歐拉把這一類的級數(shù)再次推廣 ， 讓級數(shù)中的每一項可以是任意的s次方 。
即整數(shù)倒數(shù)的s次方之和 ， 這里面s可以是任何數(shù) 。這個函數(shù)后來被稱為了黎曼Zeta函數(shù)（并沒有用歐拉的名字命名） ， 但是它通常的解法卻被稱為了歐拉乘積公式 。歐拉發(fā)現(xiàn)只要s大于1 ， 上面這個級數(shù)就是收斂的 ， 存在有限的答案 。如果s等于1 ， 即前面的調(diào)和級數(shù) ， 級數(shù)和就是發(fā)散的 ， 結(jié)果是無窮大 。當然 ， 如果s小于1 ， 肯定更是發(fā)散的了 ， 因為這時的數(shù)值比調(diào)和級數(shù)要大 。
于是 ， 按照我們一般的做法 ， 就是為這種Zeta函數(shù)畫一個有意義的定義域 ， 即s必須大于1 。但是歐拉作為歷史上有名的大數(shù)學(xué)家是很有想象力的 。歐拉就想了 ， 如果讓s變成了負數(shù) ， 然后還是用s

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