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圓周率是怎樣算出來(lái)的

知識(shí)分享圓周率

圓形應(yīng)該是我們生活中十分常見(jiàn)的圖形，人們很早之前就注意到，圓的周長(zhǎng)與直徑之比是個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是圓周率，現(xiàn)在通常記為π，它是最重要的數(shù)學(xué)常數(shù)之一 。那么，圓周率是怎么算出來(lái)的呢？下面我們一起來(lái)了解一下 。
關(guān)于π最早的文字記載來(lái)自公元前2000年前后的古巴比倫人，它們認(rèn)為π=3.125，而古埃及人使用π=3.1605 。中國(guó)古籍里記載有“圓徑一而周三”，即π=3，這也是《圣經(jīng)》舊約中所記載的π值 。在古印度耆那教的經(jīng)典中，可以找到π≈3.1622的說(shuō)法 。這些早期的π值大體都是通過(guò)測(cè)量圓周長(zhǎng)，再測(cè)量圓的直徑，相除得到的估計(jì)值 。由于在當(dāng)時(shí)，圓周長(zhǎng)無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)量出來(lái)，想要通過(guò)估算法得到精確的π值當(dāng)然也不可能 。
到了公元前3世紀(jì)，古希臘大數(shù)學(xué)家阿基米德第一個(gè)給出了計(jì)算圓周率π的科學(xué)方法：圓內(nèi)接（或外切）正多邊形的周長(zhǎng)是可以精確計(jì)算的，而隨著正多邊形邊數(shù)的增加，會(huì)越來(lái)越接近圓，那么多邊形的周長(zhǎng)也會(huì)越來(lái)越接近圓周長(zhǎng) 。阿基米德用圓的內(nèi)接和外切正多邊形的周長(zhǎng)給出圓周率的下界和上界，正多邊形的邊數(shù)越多，計(jì)算出π值的精度越高 。阿基米德從正六邊形出發(fā)，逐次加倍正多邊形的邊數(shù)，利用勾股定理（西方稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理），就可求得邊數(shù)加倍后的正多邊形的邊長(zhǎng) 。因此，隨著邊數(shù)的不斷加倍，阿基米德的方法原則上可以算出任意精度的π值 。他本人計(jì)算到正96邊形，得出223/71<π<22/7，即π值在3.140 845與3.142 857之間 。在西方，后人一直使用阿基米德的方法計(jì)算圓周率，差不多使用了19個(gè)世紀(jì) 。
無(wú)獨(dú)有偶，中國(guó)三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽，在對(duì)《九章算術(shù)》作注時(shí)，在公元264年給出了類(lèi)似的算法，并稱(chēng)其為割圓術(shù) 。所不同的是，劉徽是通過(guò)用圓內(nèi)接正多邊形的面積來(lái)逐步逼近圓面積來(lái)計(jì)算圓周率的 。約公元480年，南北朝時(shí)期的大科學(xué)家祖沖之就用割圓術(shù)算出了3.141 592 6<π<3.141 592 7，這個(gè)π值已經(jīng)準(zhǔn)確到7位小數(shù)，創(chuàng)造了圓周率計(jì)算的世界紀(jì)錄 。
17世紀(jì)之前，計(jì)算圓周率基本上都是用上述幾何方法（割圓術(shù)），德國(guó)的魯?shù)婪颉し丁た埔羵惢ㄙM(fèi)大半生時(shí)間，計(jì)算了正262邊形的周長(zhǎng)，于1610年將π值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后35位 。德國(guó)人因此將圓周率稱(chēng)為“魯?shù)婪驍?shù)” 。
關(guān)于π值的研究，革命性的變革出現(xiàn)在17世紀(jì)發(fā)明微積分時(shí)，微積分和冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的結(jié)合導(dǎo)致了用無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)計(jì)算π值的分析方法，這就拋開(kāi)了計(jì)算繁雜的割圓術(shù) 。那些微積分的先驅(qū)如帕斯卡、牛頓、萊布尼茨等都對(duì)π值的計(jì)算做出了貢獻(xiàn) 。1706年，英國(guó)數(shù)學(xué)家梅欽得出了現(xiàn)今以其名字命名的公式，給出了π值的第一個(gè)快速算法 。梅欽因此把π值計(jì)算到了小數(shù)點(diǎn)后100位 。以后又發(fā)現(xiàn)了許多類(lèi)似的公式，π的計(jì)算精度也越來(lái)越高 。1874年，英國(guó)的謝克斯花15年時(shí)間將π計(jì)算到了小數(shù)點(diǎn)后707位，這是人工計(jì)算π值的最高紀(jì)錄，被記錄在巴黎發(fā)現(xiàn)宮的π大廳 ?？上Ш髞?lái)發(fā)現(xiàn)其結(jié)果從528位開(kāi)始出錯(cuò)了 。
電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)后，人們開(kāi)始利用它來(lái)計(jì)算圓周率π的數(shù)值，從此，π的數(shù)值長(zhǎng)度以驚人的速度擴(kuò)展著：1949年算至小數(shù)點(diǎn)后2037位，1973年算至100萬(wàn)位，1983年算至1000萬(wàn)位，1987年算至1億位，2002年算至1萬(wàn)億位，至2011年，已算至小數(shù)點(diǎn)后10萬(wàn)億位 。
人類(lèi)對(duì)π的認(rèn)識(shí)過(guò)程，也從一個(gè)側(cè)面反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程 。在人類(lèi)歷史上，從沒(méi)有對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)有過(guò)如此狂熱的數(shù)值計(jì)算競(jìng)賽 。不過(guò)，有10位小數(shù)就足以滿(mǎn)足幾乎所有的實(shí)際計(jì)算需要，在日常生活中一般取π=3.1416就足夠了 。關(guān)于π的傳奇故事已經(jīng)成為一段歷史，讀者們也不必再將時(shí)間花在計(jì)算或者背誦π的數(shù)值上了 。

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