寫在前面

矛盾是無處不在的，數(shù)學正是由化解矛盾而發(fā)展起來的，這其中有很多非常深刻的矛盾值得人深思。

危機

數(shù)學史上貫穿了矛盾，同時也貫穿著人們對于矛盾的討論。當一個矛盾激化到可以影響整個數(shù)學基礎的時候，就會產(chǎn)生數(shù)學危機。
而對于這種危機的化解，往往就是數(shù)學史上的新發(fā)展，可以將原本是數(shù)學拓展到更加深層次的領域上去。

畢教主的噩夢

畢達哥拉斯，是人類歷史上一位著名的數(shù)學家。他建立的必氏學派始終信奉著數(shù)是萬物的本源，正所謂“萬物皆數(shù)” 。
世間萬物都是由數(shù)字按照一定比例和結構所構成的，并提出了一切數(shù)均可以表示為整數(shù)或者整數(shù)之比的概念。

畢教主最為輝煌的成就就是證明了勾股定理，但是輝煌的背后也有著他自己的心酸。
因為他在研究三角形的時候發(fā)現(xiàn)了三角形的三邊比不能表示成整數(shù)或者整數(shù)之比。

但是畢教主畢竟是一派之主，自己否定自己的理論未免有些太過于打臉，所以他選擇隱瞞，假裝什么都不知道。

當然，這件事是瞞不住的。一個叫希帕索斯的人就在當時提出一個問題：“邊長為1的正方形，其對角線的長度是多少？”
正是因為這個問題觸動了畢氏學派的理論根基，所以希帕索斯被處以拋入大海的刑罰。

在之后便沒有人敢于質疑畢教主的理論。兩百年后，歐多克索斯在畢教主理論基礎上建立了一套比較完善的比例理論，巧妙的避開了無理數(shù)的邏輯，并且在相當大程度上保留了畢氏學派的理論，算是緩解了這次數(shù)學危機。

但是他僅僅是通過幾何的方式避免直接接觸無理數(shù) ，這樣只是巧妙避開了人們的質疑，但是并沒有真正解決這個危機。
直到19世紀下半葉，實數(shù)理論建立后，無理數(shù)才被徹底的搞清楚，這樣一來無理數(shù)的合法地位才在數(shù)學大廈中真正建立，這持續(xù)了幾千年第一次數(shù)學危機宣告徹底解決。

來自微積分中的幽靈

17世紀時牛頓與萊布尼茨各種獨立創(chuàng)立了以無窮小分析為基礎的微積分理論。

所以當時的微積分又叫做無窮小分析。雖然微積分的發(fā)明極大推動了數(shù)學研究的發(fā)展，但是畢竟初期建立的體系總有不完善的地方。
而這次的不完善卻是致命的。當時一個叫貝克萊的人提出一個悖論—— 無窮小量到底是不是0
因為在當時的體系中無窮小量即是0，又不是0，那么它到底是什么？

這讓微積分的建立者們很是惱火。貝克萊也嘲笑無窮小量為“已死量的幽靈” 。
直到19世紀70年代，魏爾斯特拉斯、柯西等人建立實數(shù)理論，并在實數(shù)理論上建立起極限的基本定理，才緩解了這無窮小的幽靈所引發(fā)的危機。

【數(shù)學史上的三次大危機，你都了解嗎？】但是故事總是曲折的，魏爾斯特拉斯舉出了一個處處不可微但是卻連續(xù)的函數(shù)例子，說明了直觀思維和幾何作圖的不可靠，必須訴諸嚴格的概念和推理。
這導致了數(shù)學家們更加深入的討論實數(shù)論，并導致了集合論的誕生。關于無窮小量，阿拉丁認為它至今都是一個幽靈，因為關于實無限和潛無限在如今的數(shù)學體系中相輔相成，平分秋色。

自相矛盾的理發(fā)師

集合論的產(chǎn)生可謂是打了很多數(shù)學家的臉。因為當康托爾最初創(chuàng)立集合論體系時就遭到了很多數(shù)學家的抨擊。
但是久而久之，這些數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)從集合論出發(fā)可以建立原有的整個數(shù)學大廈，這些“厚顏無恥”的數(shù)學家們又表示“一切數(shù)學成果都可以建立在集合論上。”

但是不久，一個叫羅素的人提出一個悖論，這個悖論可以通過一個故事描述：

在某個城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。

可是，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。

如果把每個人看成一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象。那么，理發(fā)師宣稱，他的元素，都是城里不屬于自身的那些集合，并且城里所有不屬于自身的集合都屬于他。
那么他是否屬于他自己？

這個邏輯上的說法無懈可擊，瞬間擊垮了人們對于集合論的贊同，德國數(shù)學家弗雷格對于這個問題表示：一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，在他工作即將結束時，他的基礎體系崩潰了！

直到1931年庫爾特.哥德爾證明： - 任何一個數(shù)學系統(tǒng)，只要他是從有限的公理和基本的概念推導出來的，并且從中可以推導出自然數(shù)系統(tǒng)，就可以在其中找到一個命題，對于這個命題，我們既沒有辦法證明，也沒有辦法推翻。

這就是哥德爾不完全定理。他的證明結束了關于數(shù)學基礎的討論，宣告了把數(shù)學徹底形式化的愿望是不可能實現(xiàn)的。

阿拉丁有話說

歷史上三次數(shù)學危機，給人們帶來了很大麻煩，也有人因此慘死。危機的產(chǎn)生是因為理論本身有缺陷，但是就是通過解決這種缺陷，人類對于自然的認識才會上升到一個新的高度。
所以說每一次數(shù)學危機即是數(shù)學發(fā)展的產(chǎn)物，也是數(shù)學發(fā)展的思想源泉。