電動(dòng)機(jī)是如何將電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能的？發(fā)電機(jī)又是如何將機(jī)械能轉(zhuǎn)化成電能的？8月19日12時(shí) ， 《張朝陽的物理課》第七十九期開播，搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，先帶著網(wǎng)友復(fù)習(xí)了靜電磁學(xué)中一系列的重要公式及其應(yīng)用 ， 接著利用洛倫茲力推導(dǎo)出安培力公式，并討論了電動(dòng)機(jī)的工作原理 。隨后，繼續(xù)利用洛倫茲力推導(dǎo)動(dòng)生電動(dòng)勢與磁通量變化的關(guān)系，并指出感生電動(dòng)勢也滿足同樣的關(guān)系式 ， 統(tǒng)稱為法拉第電磁感應(yīng)定律 ， 該定律可以得到麥克斯韋方程組中關(guān)于電場旋度的方程，并幫助人們制造發(fā)電機(jī) 。
靜電磁學(xué)的特點(diǎn)與總結(jié)
張朝陽先回顧了最近這幾期關(guān)于電磁學(xué)的內(nèi)容，他帶領(lǐng)網(wǎng)友先從麥克斯韋方程組出發(fā)：
只是簡單地推導(dǎo)出電磁波之后，課程就圍繞著電磁場不隨時(shí)間變化的情況展開，這時(shí)麥克斯韋方程組中關(guān)于時(shí)間的偏導(dǎo)項(xiàng)都可以忽略，得到簡易的靜電磁場方程組：
上述靜電磁場方程組的解就是庫倫定律：
和畢奧薩伐爾定律：
由上述公式可以求出給定恒定電荷密度與電流密度情況下的電磁場 。但在對稱性較高的情況下 ， 還可以通過靜態(tài)微分方程組的積分形式來高效求得電磁場 。利用散度定理，可以將第一個(gè)方程改寫為高斯定理：
利用高斯定理和對稱性，可以簡單地得到點(diǎn)電荷，線電荷和面電荷的電場 。
同樣對第三個(gè)公式利用散度定理，也可以得到：
這表明一個(gè)閉合曲面的磁通量為零，是磁荷不存在的表現(xiàn),需要注意的是 ， 該公式對隨時(shí)間變化的電荷密度與電流密度也成立 。
利用斯托克斯公式，第二個(gè)方程可以改寫為：
這說明電場沿著閉合曲線積分一周后為零，同時(shí)也說明將電場從空間某點(diǎn)路徑積分到另一點(diǎn)的值與路徑無關(guān) ， 所以可以由此定義出標(biāo)量的勢能φ，它滿足：
注意，滿足上式的勢能φ只能在靜電磁場的情況下才能被定義出來，否則將與公式-▽×▽φ=▽×E=0矛盾 。
同樣利用斯托克斯公式，最后一個(gè)方程可以改寫為：
該公式是安培環(huán)路定理，它能代替復(fù)雜的畢奧薩伐爾公式來推導(dǎo)磁場 。無窮長線電流（導(dǎo)線橫截面積可以不趨于零） ， 面電流還有環(huán)形電流（例如通電螺線管）等等具有一定對稱性的電流密度分布的情況，都可以用安培環(huán)路定理簡單快速地求得磁場分布 。
安培力與電動(dòng)機(jī)
上述回顧的麥克斯韋方程組可知電荷如何產(chǎn)生電磁?。?而這節(jié)課要討論的洛倫茲力則可以明白電荷如何受到電磁場的作用 ， 麥克斯韋方程組加上洛倫茲力才構(gòu)成完整的電磁學(xué)理論體系 。一個(gè)以速度v運(yùn)動(dòng)帶電量為q的點(diǎn)電荷受到的洛倫茲力為：
（張朝陽利用洛倫茲力推導(dǎo)安培力）
若要考慮的對象不是一個(gè)點(diǎn)電荷，而是具有電荷密度ρ的電荷分布 。其中一個(gè)體積微元dτ具有電荷量q=ρdτ，設(shè)此體積微元的運(yùn)動(dòng)速度為v，那么它受到的洛倫茲力為：
其中j=ρv是電流密度 。將上式兩邊同除以dτ，得到單位體積受到的洛倫茲力為：
現(xiàn)在只考慮一個(gè)簡單的情況，忽略掉電場的部分，并且磁場與電流方向垂直，那么單位體積的洛倫茲力的大小可以簡寫成：
對于橫截面積為dS的導(dǎo)線，其電流為：
若導(dǎo)線垂直于磁場方向B，則每單位長度的導(dǎo)線受磁場引起的洛倫茲力為：
設(shè)導(dǎo)線的長度為L，磁場均勻且垂直于導(dǎo)線，那么導(dǎo)線受力為：
這就是安培力公式 ， 它給出了通電導(dǎo)線在磁場下的受力大小 。
利用安培力，可以制作電動(dòng)機(jī) ， 其構(gòu)造如下圖所示：
（張朝陽介紹電動(dòng)機(jī)工作原理）
恒定且均勻的磁場B從左向右，一條導(dǎo)線電流垂直紙面向里 ， 另一條導(dǎo)線電流垂直紙面向外，設(shè)導(dǎo)線的長度為L，兩導(dǎo)線的距離為d ， 兩導(dǎo)線中心的連線與磁場方向的夾角為θ 。利用安培力公式，可知兩導(dǎo)線受力都為F=BIL 。另外F的方向就是j×B的方向 ， 由右手螺旋定則還可判定電流垂直紙面向里的導(dǎo)線受力向下，而電流垂直紙面向外的導(dǎo)線受力向上 。由此線圈受到一個(gè)沿紙面向外的力矩，并可計(jì)算出線圈受到的總力矩為：
其中A=Ld是線圈的面積 。
當(dāng)θ等于零的時(shí)候，力矩最大，在力矩的作用下，線圈旋轉(zhuǎn)到θ等于90°的情況 ， 此時(shí)力矩為零，當(dāng)線圈繼續(xù)轉(zhuǎn)過該平衡位置后，力矩從零增大，但力矩的方向卻與之前的相反，阻礙線圈的轉(zhuǎn)動(dòng) 。為了能讓力矩始終保持一個(gè)方向 ， 可以在θ等于90°的平衡位置處安裝一個(gè)接口切換裝置，使得線圈電流反向，安培力也會(huì)反向 ， 使得轉(zhuǎn)過90°之后力矩方向與轉(zhuǎn)過90°之前一致，這樣線圈就可以不停地沿著同一方向持續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，這就是電動(dòng)機(jī)的工作原理，利用安培力將電能轉(zhuǎn)化成機(jī)械能 。
法拉第電磁感應(yīng)定律
給放在磁場中的線圈加電動(dòng)勢產(chǎn)生電流后，線圈會(huì)轉(zhuǎn)起來，若反過來 ， 使放在磁場中的線圈轉(zhuǎn)起來后，是否會(huì)產(chǎn)生電動(dòng)勢呢？
（張朝陽利用洛倫茲力推導(dǎo)感應(yīng)電動(dòng)勢）
當(dāng)線圈轉(zhuǎn)起來后，設(shè)垂直紙面的導(dǎo)線的運(yùn)動(dòng)速度為v ， 導(dǎo)線中的電荷相對于磁場運(yùn)動(dòng)，它們受到的洛倫茲力大小為：
左邊的導(dǎo)線的電荷受到洛倫茲力沿導(dǎo)線垂直紙面向外，而右邊的導(dǎo)線的電荷受力沿導(dǎo)線垂直紙面向里 ， 由此導(dǎo)線內(nèi)的電荷會(huì)運(yùn)動(dòng)形成電流，這說明線圈內(nèi)產(chǎn)生了電動(dòng)勢 。而只有垂直于紙面的兩條導(dǎo)線會(huì)貢獻(xiàn)電動(dòng)勢，線圈內(nèi)的動(dòng)生總電動(dòng)勢大小為V ， 那么由電動(dòng)勢的定義與功的表達(dá)式可得：
進(jìn)一步考慮導(dǎo)線的運(yùn)動(dòng)速度v與轉(zhuǎn)動(dòng)速度ω=dθ/dt之間的關(guān)系：
可以得到動(dòng)生電動(dòng)勢的新表達(dá)式：
其中面積A=dL 。注意到φ=BAsinθ正是線圈的磁通量大?。磐糠較潁ǘㄒ邐懦〈怪庇諂矯嫻姆至浚┚哂邢蠐業(yè)姆至?nbsp;， 從θ=0轉(zhuǎn)到θ=90°的過程中，磁通量逐漸變大，于是磁通量的變化的方向也是具有向右的分量 。而根據(jù)上述洛倫茲力方向的分析，可知若右手四指朝著電流方向則右手大拇指方向具有向左的分量，表明大拇指方向與磁通量的變化的方向相反 。若以右手螺旋定則來聯(lián)系磁通量方向與電動(dòng)勢的方向，那么具有正負(fù)號(hào)的動(dòng)生電動(dòng)勢與磁通量的關(guān)系為：
這里動(dòng)生電動(dòng)勢的產(chǎn)生是由于線圈轉(zhuǎn)動(dòng)（切割磁感線）引起的 ， 實(shí)際上，若線圈不動(dòng)，但改變磁場的強(qiáng)度也可以產(chǎn)生電動(dòng)勢，稱為感生電動(dòng)勢，而感生電動(dòng)勢與磁通量的關(guān)系也滿足上述公式，電動(dòng)勢與磁通量的關(guān)系稱為法拉第電磁感應(yīng)定律 。另外，由于線圈不動(dòng) ， 所以電荷速度為零，不會(huì)受到磁場力qvB，然而電荷還是因?yàn)橛懈猩妱?dòng)勢而受力，那根據(jù)洛倫茲力公式，電荷受力只能來源于電場力F=qE，即這種情況下磁通量的變化產(chǎn)生了電?。ɡ詰绱鷗杏Χ芍械母猩綞樸玫緋【嚀逍闖隼次?
其中最后一個(gè)等號(hào)用到了線圈不隨時(shí)間變化的條件 。
由于上式對任意線圈成立，所以有：
這正是麥克斯韋方程組中關(guān)于電場散度的方程 。也可以反過來看，該方程能推導(dǎo)出感生電動(dòng)勢與磁通量變化的關(guān)系，而洛倫茲力則能推導(dǎo)出動(dòng)生電動(dòng)勢與磁通量變化的關(guān)系，并且神奇的是電動(dòng)勢與磁通量的關(guān)系都滿足同一方程 ， 這就是大名鼎鼎的法拉第電磁感應(yīng)定律 。安培力使得人們可以制造出電動(dòng)機(jī)，讓電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，而法拉第電磁感應(yīng)定律則反之，讓機(jī)械能轉(zhuǎn)化成電能，使得人們可以制造出發(fā)電機(jī)，對人類文明的發(fā)展有著重大意義 。
【電動(dòng)機(jī)與發(fā)電機(jī)的工作原理是什么？】
