因?yàn)榫仃嚳梢曰蓪窃囟际瞧涮卣髦档膶蔷仃嚕辛惺降闹挡蛔儯瑢蔷仃嚨男辛惺骄褪菍窃叵喑?。記矩陣為A，記λ為A的特征值，按照定義有：f(λ)=det(A-λE)=0，f(λ)為A的特征多項(xiàng)式，A的所有特征值為f(λ)=0的根，根據(jù)韋達(dá)定理，方程的根的乘積與系數(shù)的關(guān)系，特征值的乘積恰好為矩陣A的主子式的代數(shù)和，而這個和等于detA 。所以特征值乘積等于行列式的值 。
【特征值相乘為什么等于行列式 特征值相乘為什么等于行列式的值】
行列式的性質(zhì)：
1、行列式A中某行（或列）用同一數(shù)k乘，其結(jié)果等于kA 。
2、行列式A等于其轉(zhuǎn)置行列式AT 。
3、若n階行列式|αij|中某行（或列）；行列式則|αij|是兩個行列式的和，這兩個行列式的第i行（或列），一個是b1，b2，…，bn；另一個是с1，с2，…，сn；其余各行（或列）上的元與|αij|的完全一樣 。
4、行列式A中兩行（或列）互換，其結(jié)果等于-A 。⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一數(shù)后加到另一行（或列）中各對應(yīng)元上，結(jié)果仍然是A 。
拓展：
行列式定義的連加運(yùn)算中，每一項(xiàng)可以這么理解：
行列式每一行都選出一個數(shù)字進(jìn)行連乘，并且這些選出的數(shù)不能是同一列的 。次數(shù)第二高的式子必須至少有n-1個(λ-aii) 。
然而|λI-A|的連加運(yùn)算中不可能有哪一項(xiàng)包含n-1個(λ-aii) 。因?yàn)槿绻嬖诎琻-1個(λ-aii)的項(xiàng)，那么假設(shè)沒提供(λ-aii)的那行是第k行 。
第k行必須從別的列上取一個數(shù)，但是其他的n-1行提供的(λ-aii)把其他的n-1列都占用了并且還在對角線上 。這導(dǎo)致第k行只能去第k列取數(shù)，而k行k列顯然是(λ-akk)，存在矛盾 。
所以次數(shù)第二高的項(xiàng)也在（-1）τ(1，2,···，n)П(λ-aii)中 。
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