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矩陣相乘怎么算 矩陣相乘

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矩陣相乘怎么算 矩陣相乘


本文是吳恩達(dá)《機(jī)器學(xué)習(xí)》視頻筆記第16篇 ， 對(duì)應(yīng)第1周第16個(gè)視頻 。
“Linear Algebra review(optional)——Matrix-matrix multiplication”
上一視頻講的是矩陣和向量相乘，我們?cè)谏仙仙蟼€(gè)視頻“矩陣和向量”那一節(jié)已經(jīng)知道向量也是一種特殊的矩陣 ， 那這一節(jié)我們把后面的這個(gè)向量給一般化為矩陣，即矩陣和矩陣的乘法 。
引入前面講過(guò)梯度下降用于線(xiàn)性回歸模型的參數(shù)確定，如果有矩陣的乘法的加持，我們就可以不用梯度下降法也能求解這個(gè)問(wèn)題 。
先來(lái)看一個(gè)例子，求下面圖中兩個(gè)矩陣的乘 。

那怎么做呢？上圖中兩個(gè)矩陣，左邊的這個(gè)是2×3的矩陣、右邊這個(gè)是3×2的矩陣，我們可以把右邊這個(gè)矩陣的第一列抽出來(lái) ， 就變成了2×3的矩陣和一個(gè)3×1的列向量的乘法，這就和上一視頻講到的一樣了 。如下圖，我們就可以得到一個(gè)2×1的列向量：

類(lèi)似的，把右邊矩陣的第二列抽出來(lái)相乘又得到一個(gè)2×1的列向量，然后把這兩步得到的列向量拼在一起就得到兩個(gè)矩陣的乘的結(jié)果了 。

一般情況那上面那個(gè)特例中，左邊是2×3的矩陣、右邊是3×2的矩陣 。右邊這個(gè)矩陣的行數(shù)、列數(shù)分別和左邊矩陣的列數(shù)、行數(shù)相等 ， 是不是說(shuō)一般情況也有這種要求呢？我們一起看一下 。
對(duì)于一般的情況，矩陣和矩陣的乘法的形式如下圖：

從上面的圖中可知 ， 矩陣A×B，只要求A的列數(shù)要等于B的行數(shù) ， 而不一定要求A的行數(shù)等于B的列數(shù)；得到的結(jié)果矩陣C呢，C的行數(shù)和A的行數(shù)相等、C的列數(shù)和B的列數(shù)相等 。
從前面的示例我們可知，矩陣A和矩陣B的乘，可以簡(jiǎn)化為矩陣A和矩陣B的列向量的乘，然后再把結(jié)果拼成C 。就完成了矩陣與矩陣的乘法 。
矩陣和矩陣相乘 ， 化簡(jiǎn)為矩陣和列向量相乘的過(guò)程中 ， 右邊的矩陣A會(huì)被用o次（即矩陣B的列數(shù)）、而矩陣B呢是被拆分成o個(gè)列向量來(lái)用的 。想想這個(gè)事挺有意思的 。

再來(lái)一個(gè)例子兩個(gè)2×2的矩陣相乘，運(yùn)算過(guò)程如下圖：

繼續(xù)賣(mài)房子我們來(lái)看一下 ， 矩陣和矩陣的乘法這種運(yùn)算規(guī)則的制定怎樣讓我們實(shí)際問(wèn)題更容易被表述 。
還是假設(shè)我有四套房子，面積（單位是平方英尺）不同 ， 如下圖：

這里呢，面積和售價(jià)之間關(guān)系的預(yù)測(cè)函數(shù)不再是一個(gè)了 ， 假設(shè)我們有3個(gè)可能的公式用來(lái)計(jì)算房屋的售價(jià)，如果有矩陣乘法 ， 就可以很方便的把這個(gè)事情給描述出來(lái) 。
我們把第一個(gè)模型的參數(shù)拿出來(lái)構(gòu)成矩陣B的第一列、第二個(gè)模型的參數(shù)做第二列、第三個(gè)模型的參數(shù)做第三列，就得到下圖這樣的一個(gè)矩陣乘法的式子 。

對(duì)上面的這個(gè)式子進(jìn)行運(yùn)算，就可以得到一個(gè)4×3的結(jié)果矩陣 。而結(jié)果矩陣的每一列就對(duì)應(yīng)于相應(yīng)模型對(duì)4套不同房子的售價(jià)的預(yù)測(cè) 。如下圖：

一次矩陣運(yùn)算就可以讓我們完成三個(gè)模型分別對(duì)4套房子的售價(jià)預(yù)測(cè)，即12次房屋售價(jià)預(yù)測(cè)的運(yùn)算用一個(gè)矩陣乘法的式子就可以表示了，想想就讓人激動(dòng) 。

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