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sin60度的三角函數(shù)值 sin60度

云知道

老黃覺得，解三角形最重要的三個公式分別是：正弦公式、余弦公式和三角形的正弦面積公式，以及它們的變形公式 。2022年新高考全國卷II的解三角形問題 ， 就很好地結(jié)合了這三個重要公式 。
記△ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c, 以a, b, c為邊長的三個正三角形的面積分別S1, S2, S3, 且S1-S2+S3=√3/2, sinB=1/3.
(1)求△ABC的面積.
(2)若sinAsinC=√2/3, 求b.
原題是沒有圖形的 ， 老黃為了做個封面，就畫了下面的圖形，也能更直觀地理解題目的條件和要求 。我個你講喔，要把這個圖畫準確，可比解這道題難多了哦 。當然老黃也就畫個草圖而已 。

sin60度的三角函數(shù)值 sin60度


分析：(1)題目的突破點之一，是利用三個正三角形的正弦面積公式 ， 即S1=a^2sin60度/2, S2=b^2sin60度/2, S3=c^2sin60度/2, 利用題目所給的三個正三角形的面積關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化得a^2-b^2+c^2=2. 因為上面所提到的三個公式都與邊角有關(guān)，所以把面積關(guān)系轉(zhuǎn)化成邊的關(guān)系 ， 會有更多的可能 。
接下來利用角B的余弦公式：2accosB=a^2+c^2-b^2，就可以得到accosB=1.
【sin60度的三角函數(shù)值 sin60度】下面判斷角B是銳角還是鈍角，因為要用到它的余弦，所以要判斷角B的余弦的符號性質(zhì) 。因為b^2=a^2+c^2-2，即b比直角三角形勾股定理中的斜邊相對要小，根據(jù)“小邊對小角” ， 可以知道，角B是一個銳角 。
因此cosB=√(?( )^)=2√/3, 這就可以求得ac=1/cosB=3√/4.
再次運用三角形ABC的正弦面積公式，就有S△ABC=acsinB/2=√/8.
(2)第二小題一看就知道要用到正弦公式：sinA/a=sinB/b=sinC/c. 然后分別用邊的關(guān)系表示sinA和sinC. 就有邊角關(guān)系sinAsinC=ac/(9b^2). 分子分母同時乘以cosB, 分子化為accosB=1，分母則化為9b^2cosB=6√b^2. 即1/(6√b^2)=√/3. 輕松解得b=1/2, 或b=-1/2(舍去).
下面組織解題過程：
解：(1)S1-S2+S3=(a^2-b^2+c^2)sin60度/2=√3/2,
a^2-b^2+c^2=2, 又a^2+c^2-b2=2accosB, ∴accosB=1,
由b^2=a^2+c^2-2, 知B<90度. cosB=√(1-(sinB)^2)=2√2/3,
△ABC的面積S=acsinB/2=ac/6=1/(6cosB)=√2/8.
(2)由sinA/a=sinB/b=sinC/c,有sinA=a/(3b), sinC=c/(3b).
sinAsinC=ac/(9b^2)=1/(9b^2cosB)=1/(6√2b^2)=√2/3.
解得： b=1/2, 或b=-1/2(舍去).
所以，解三角形的三個重要公式及其各種變形形式，你都掌握了嗎？

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