斯特靈公式(Stirling\'sformula)是一條用來(lái)取n階乘近似值的數(shù)學(xué)公式 。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)n很大的時(shí)候，n階乘的計(jì)算量十分大，所以斯特靈公式十分好用；而且，即使在n很小的時(shí)候，斯特靈公式的取值已經(jīng)十分準(zhǔn)確 。公式為：這就是說(shuō)，對(duì)于足夠大的整數(shù)n
斯特靈公式(Stirling\'s formula)是一條用來(lái)取n階乘近似值的數(shù)學(xué)公式 。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)n很大的時(shí)候，n階乘的計(jì)算量十分大，所以斯特靈公式十分好用；而且，即使在n很小的時(shí)候，斯特靈公式的取值已經(jīng)十分準(zhǔn)確 。
公式為：
這就是說(shuō)，對(duì)于足夠大的整數(shù)n，這兩個(gè)數(shù)互為近似值 。更加精確地：
這個(gè)公式，以及誤差的估計(jì)，可以推導(dǎo)如下 。首先不直接估計(jì)n!，而是考慮它的自然對(duì)數(shù)：即:
這個(gè)方程的右面是如下積分的近似值（利用梯形法則）
而它的誤差由歐拉-麥克勞林公式給出：
其中Bk是伯努利數(shù)，Rm,n是歐拉-麥克勞林公式中的余項(xiàng) 。取極限，可得：
把這個(gè)極限記為y 。由于歐拉-麥克勞林公式中的余項(xiàng)Rm,n滿足：
其中用到了大O符號(hào)，與以上的方程結(jié)合，便得出對(duì)數(shù)形式的近似公式：
兩邊取指數(shù)，并選擇任何正整數(shù)m，便得到了一個(gè)含有未知數(shù)e^y的公式 。當(dāng)m=1時(shí)，公式為：
將上述表達(dá)式代入沃利斯乘積公式，并令n趨于無(wú)窮，便可以得出e^y=√2π,因此，我們便得出斯特靈公式：
這個(gè)公式也可以反復(fù)使用分部積分法來(lái)得出，首項(xiàng)可以通過(guò)最速下降法得到 。把以下的和
用積分近似代替，可以得出不含√2πn的因子的斯特靈公式（這個(gè)因子通常在實(shí)際應(yīng)用中無(wú)關(guān)）：
斯特靈公式實(shí)際上是以下級(jí)數(shù)（現(xiàn)在稱為斯特靈級(jí)數(shù)）的第一個(gè)近似值：
階乘的對(duì)數(shù)的漸近展開式也稱為斯特靈級(jí)數(shù)：
【n的階乘大還是n的n次方大 n的階乘斯特林公式】
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