01、等于
在數(shù)學(xué)的完備實(shí)數(shù)系中，循環(huán)小數(shù)0.999…表示一個(gè)等於1的實(shí)數(shù)，即0.999…所表示的數(shù)與1相同 。目前該等式已經(jīng)有各式各樣的證明式；它們各有不同的嚴(yán)謹(jǐn)性、背景假設(shè)，且都蘊(yùn)含實(shí)數(shù)的實(shí)質(zhì)條件，即阿基米德公理、歷史文脈、以及目標(biāo)受眾 。
無(wú)限循環(huán)小數(shù) 0.999... 與 1 嚴(yán)格相等 。
很多網(wǎng)友會(huì)通過(guò)一些初等的方法來(lái)理解這個(gè)事實(shí)，下面舉出三種有代表性的初等思路：思路一：
設(shè) a=0.999...
則 10a=9.999...
于是 9a=10a-a=9.999...-0.999...=9,
【0.999999999循環(huán)等于1嗎？】因此 a=1.
思路二：
由于 1/3=0.333...,
所以 1=(1/3)?=0.333...?=0.999...
思路三：
0.999...可以看成首項(xiàng)為 0.9, 公比為 0.1 的等比數(shù)列
的所有項(xiàng)之和.
根據(jù)等比數(shù)列的求和公式,
但是，需要強(qiáng)調(diào)的是，以上三種思路可以用來(lái)直觀理解，但不能把它們當(dāng)成“1=0.999...”的嚴(yán)格證明 。原因是，“0.999...”這樣的無(wú)限小數(shù)的嚴(yán)格表示是超出了初等數(shù)學(xué)的范圍的，不能想當(dāng)然地對(duì)“0.999...”這樣的無(wú)限小數(shù)做普通的加減乘除運(yùn)算，所以上面三種初等思路只能算“投機(jī)取巧”的“初等理解”，而不能叫做“嚴(yán)格證明” 。
要給出 1=0.999... 這個(gè)事實(shí)的嚴(yán)格證明，需要理解從有理數(shù)構(gòu)造實(shí)數(shù)的辦法，這個(gè)構(gòu)造過(guò)程將使我們更加深刻地認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)，而不是僅僅停留在"無(wú)限不循環(huán)小數(shù)"的直觀層面上 。
在過(guò)去數(shù)十年裡，許多數(shù)學(xué)教育的研究人員研究了大眾及學(xué)生們對(duì)該等式的接受程度，許多學(xué)生在學(xué)習(xí)開始時(shí)懷疑或拒絕該等式，而后許多學(xué)生被老師、教科書和如下章節(jié)的算術(shù)推論說(shuō)服接受兩者是相等的，盡管如此，許多人們?nèi)猿８械綉岩?，而提出進(jìn)一步的辯解，這經(jīng)常是由于存在不少對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)數(shù)錯(cuò)誤的觀念等的背后因素，例如認(rèn)為每一個(gè)實(shí)數(shù)都有唯一的一個(gè)小數(shù)展開式，以及認(rèn)為無(wú)限?。o(wú)窮?。┎坏扔?，并且將0.999…視為一個(gè)不定值，即該值只是一直不斷無(wú)限的微微擴(kuò)張變大，因此與1的差永遠(yuǎn)是無(wú)限小而不是零，因此「永遠(yuǎn)都差一點(diǎn)」 。我們可以構(gòu)造出符合這些直觀的數(shù)系，但是只能在用於初等數(shù)學(xué)或多數(shù)更高等數(shù)學(xué)中的標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)系統(tǒng)之外進(jìn)行，的確，某些設(shè)計(jì)含有「恰恰小於1」的數(shù)，不過(guò)，這些數(shù)一般與0.999…無(wú)關(guān)（因?yàn)榕c之相關(guān)的理論上和實(shí)踐上都皆無(wú)實(shí)質(zhì)用途），但在數(shù)學(xué)分析中引起了相當(dāng)大的關(guān)注 。
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