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cosx/sinx cosx的不定積分是：∫(sinxcosx)/(sinx cosx)dx=(1/2)(-cosx sinx)-[1/(2√2)]ln|csc(x π/4)-cot(x π/4)| C 。C為積分常數(shù) 。

cosx/sinx+cosx的不定積分 sinx cosx/√sinx-cosx的不定積分

解答過程如下：
∫(sinxcosx)/(sinx cosx)dx
=(1/2)∫(2sinxcosx)/(sinx cosx)dx
=(1/2)∫[(1 2sinxcosx)-1]/(sinx cosx)dx
=(1/2)∫(sin2x 2sinxcosx cos2x)/(sinx cosx)dx-(1/2)∫dx/(sinx cosx)
=(1/2)∫(sinx cosx)2/(sinx cosx)dx-(1/2)∫dx/[√2sin(x π/4)]
=(1/2)∫(sinx cosx)dx-[1/(2√2)]∫csc(x π/4)dx
=(1/2)(-cosx sinx)-[1/(2√2)]ln|csc(x π/4)-cot(x π/4)| C

記作∫f(x)dx或者∫f（高等微積分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x) C 。其中∫叫做積分號，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數(shù)或積分常量，求已知函數(shù)的不定積分的過程叫做對這個函數(shù)進行不定積分。如果f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)，即有一個函數(shù)F(x)使對任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么對任何常數(shù)顯然也有[F(x) C]'=f(x) 。即對任何常數(shù)C，函數(shù)F(x) C也是f(x)的原函數(shù) 。這說明如果f(x)有一個原函數(shù),那么f(x)就有無限多個原函數(shù) 。

設(shè)G(x)是f(x)的另一個原函數(shù)，即?x∈I，G'(x)=f(x) 。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 。
由于在一個區(qū)間上導(dǎo)數(shù)恒為零的函數(shù)必為常數(shù)，所以G(x)-F(x)=C’(C‘為某個常數(shù)）。
【cosx/sinx cosx的不定積分 sinx cosx/√sinx-cosx的不定積分】這表明G(x)與F(x)只差一個常數(shù) 。因此,當(dāng)C為任意常數(shù)時，表達式F(x) C就可以表示f(x)的任意一個原函數(shù) 。也就是說f(x)的全體原函數(shù)所組成的集合就是函數(shù)族{F(x) C ∞} 。