勾股定理的證明
勾股定理是初等幾何中的一個(gè)基本定理 。所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方 。這個(gè)定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國(guó)（希臘、中國(guó)、埃及、巴比倫、印度等）對(duì)此定理都有所研究 。
勾股定理在西方被稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，公元前572年?～公元前497年?）于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的 。但畢達(dá)哥拉斯對(duì)勾股定理的證明方法已經(jīng)失傳 。著名的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid，公元前330年～公元前275年）在巨著《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個(gè)很好的證明 。
歐幾里得的證法
在歐幾里得的《幾何原本》一書(shū)中給出勾股定理的以下證明 。設(shè)△ABC為一直角三角形，其中∠A為直角 。從A點(diǎn)劃一直線(xiàn)至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊 。延長(zhǎng)此線(xiàn)把對(duì)邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等 。
證明如下：
如圖，分別以AB、BC、CA為邊作正方形BAGF、CBDE、ACIH. 過(guò)A作BC的垂線(xiàn)AK，延長(zhǎng)AK交DE于L 。連結(jié)AD、FC 。
在△ABD與△FBC中，AB=FB, BD=BC,
∠ABD=∠FBC. ∴ △ABD≌△FBC
∴ △ABD與△FBC的面積相等 。
又 ∵ 在△ABD與矩形KBDL中，同底BD, 等高 。
∴ △ABD面積=矩形KBDL的面積的一半 。
同理可證，△FBC的面積=正方形BAGF面積的一半 。
∴ 矩形KBDL的面積=正方形BAGF的面積 。
同理可得 矩形CKLE的面積=正方形ACIH的面積.
∴ 正方形BDEC面積=矩形KBDL面積+矩形CKLE面積=正方形BAGF面積+正方形ACIH的面積.
∴ BC的平方=AB的平方+AC的平方
也即：AB的平方+AC的平方=BC的平方
即兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方
畢達(dá)哥拉斯
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