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在數(shù)學(xué)中，我們通過證明或已有的結(jié)果推導(dǎo)出我們并不完全理解的東西。下面我用四個(gè)簡(jiǎn)單而有趣的例子來解釋。
第一個(gè)，歐拉恒等式

這就是眾所周知的歐拉恒等式。對(duì)我來說，數(shù)學(xué)最有趣的地方是發(fā)現(xiàn)我們并不完全理解的事物。歐拉恒等式是其中之一。
對(duì)于超越數(shù)（比如，e和π包含在這個(gè)公式中），我們發(fā)現(xiàn)它經(jīng)常出現(xiàn)在我們的現(xiàn)實(shí)生活中。比如計(jì)算半衰期，或者計(jì)算房子的利率，或者計(jì)算圓周與直徑的比率。我們知道數(shù)字1的必要性，當(dāng)它與自身相減時(shí)，結(jié)果是0 。有了0，1，和- 1的平方根的定義，再加上我們關(guān)于唯一性的規(guī)則公理，我們就可以構(gòu)造出整個(gè)數(shù)字系統(tǒng) 。所有的知識(shí)都在這個(gè)方程里。但很多人并不真正理解它，想要深入了解歐拉恒等式，可以閱讀我的這篇文章：數(shù)學(xué)界最著名、最偉大、最美麗的公式之一——?dú)W拉公式
這有點(diǎn)像重力，因?yàn)榕ｎD知道有一個(gè)力作用在從樹上落下的蘋果上。但是，直到今天，我們?nèi)匀粚?duì)它到底是什么有爭(zhēng)議。
斯坦福大學(xué)的基思·德夫林教授（1947-）這樣評(píng)價(jià)歐拉恒等式：
歐拉恒等式就像莎士比亞的十四行詩捕捉到了愛的精髓，也像一幅畫展現(xiàn)了不僅僅是膚淺的人體之美，它觸及到了存在的最深處。
哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、哈佛教授本杰明·皮爾斯（Benjamin Peirce）也說過：
這絕對(duì)是荒謬的，我們無法理解它，也不知道它意味著什么，但我們已經(jīng)證明了它，因此我們知道它一定是事實(shí) 。
這就是歐拉恒等式的核心。事實(shí)上，它是很多數(shù)學(xué)的核心（對(duì)證明工作的嚴(yán)格要求，完成和組織正確的邏輯）。但是，即使有了所有的邏輯思維和精準(zhǔn)性，它仍然缺乏真正的意義。就像萬有引力一樣，歐拉恒等式確實(shí)存在。它無疑是真理。
我們使用這個(gè)恒等式中涉及的元素，讓它們出現(xiàn)在許多應(yīng)用程序中。我們發(fā)現(xiàn)它們存在于與純數(shù)學(xué)相去甚遠(yuǎn)的學(xué)科中。我們知道它們對(duì)我們所知的現(xiàn)實(shí)進(jìn)行了高度精確的解釋。它們幾乎對(duì)我們遇到的所有東西進(jìn)行建模。它們改善了絕大多數(shù)人的生活卻沒有得到社會(huì)的認(rèn)可。它們是世界上看不見的真理。你不需要了解他們，就能從中獲益。
但是，如果有人問我，為什么是歐拉恒等式，我不能告訴你。這就是它的有趣之處。這是一個(gè)如此強(qiáng)大的等式，將數(shù)學(xué)中如此多的元素聯(lián)系在一起，但我們并沒有真正理解它。
第二個(gè)，復(fù)利

關(guān)于復(fù)利最著名的話莫過于愛因斯坦的：
宇宙間最大的能量是復(fù)利，世界的第八大奇跡是復(fù)利。
還記得我們?cè)跉W拉恒等式中看到的e嗎？它與很多東西都有聯(lián)系，但讓我們從它的發(fā)現(xiàn)開始，然后看看它的怪異之處。
1683年，雅各布·伯努利提出了一個(gè)關(guān)于復(fù)利的問題：
一個(gè)賬戶從$1.00開始，每年支付100%的利息。如果一年計(jì)息一次，在年底，這個(gè)賬戶在年底的余額將是2美元。如果一年計(jì)息n次（每次利率為1/n），年底賬號(hào)余額是多少？
意思是，如果一年計(jì)息2次，每6個(gè)月你可以得到50%的收益。也就是說，年底有：