設(shè)一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3……xn中 ， 各組數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方分別是(x1-)2 ， (x2-2……(xn-)2 ， 那么我們用他們的平均數(shù)來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小 ， 并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差 。
例如兩人的5次測驗(yàn)成績?nèi)缦拢篨： 50 ， 100 ， 100 ， 60 ， 50 ， 平均值E(X)=72;Y：73 ， 70 ， 75 ， 72 ， 70 平均值E(Y)=72 。平均成績相同 ， 但X 不穩(wěn)定 ， 對平均值的偏離大 。
方差描述隨機(jī)變量對于數(shù)學(xué)期望的偏離程度 。單個偏離是消除符號影響方差即偏離平方的均值 ， 記為E(X)：直接計算公式分離散型和連續(xù)型 。推導(dǎo)另一種計算公式得到：“方差等于各個數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方和的平均數(shù)” 。其中 ， 分別為離散型和連續(xù)型計算公式。稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差 ， 方差描述波動程度 。
設(shè)C為常數(shù) ， 則D(C) = 0(常數(shù)無波動);D(CX )=C2D(X ) (常數(shù)平方提取 ， C為常數(shù) ， X為隨機(jī)變量) 。
證：特別地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差無負(fù)值) 。
若X 、Y 相互獨(dú)立 ， 則 ， 證：記前面兩項(xiàng)恰為 D(X )和D(Y ) ， 第三項(xiàng)展開后為
當(dāng)X、Y 相互獨(dú)立時 ， 故第三項(xiàng)為零 。特別地獨(dú)立前提的逐項(xiàng)求和 ， 可推廣到有限項(xiàng) 。
【方差的計算公式 方差和標(biāo)準(zhǔn)差公式】方差公式平均數(shù)：(n表示這組數(shù)據(jù)個數(shù) ， x1、x2、x3……xn表示這組數(shù)據(jù)具體數(shù)值) 。
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