設(shè)A是m×n矩陣 ， B是n×s矩陣 。
證明西爾維斯特不等式:
R(AB)≥R(A) R(B)-n
在遇到這種比較多個矩陣秩的問題時 ， 最常用的方法就是利用分塊矩陣的初等變換 。
因?yàn)镽(AB)≥R(A) R(B)-n ， 所以
R(AB) n≥R(A) R(B)
R(AB) n是由矩陣AB和單位矩陣e組成的分塊矩陣h的秩 。
矩陣h
R(A) R(B)是矩陣A和矩陣B組成的分塊矩陣t的秩 。
矩陣t
根據(jù)題意 ， 我們可以知道矩陣H的秩大于等于矩陣H的秩..
我們對矩陣h進(jìn)行初等變換 。
矩陣H的第二行乘以矩陣A ， 加到第一行 。
將矩陣的第二列乘以矩陣(-B)并將其加到第二列 。
將矩陣的第一列乘以(-1) 。
因?yàn)榫仃嚨某醯茸儞Q不改變矩陣的秩 ，
因此 ， 矩陣H的秩等于矩陣H’的秩 。
因此 ， R(H)=R(H ')
= R(A) R(E)
=R(A) n
=R(AB) n
因?yàn)榫仃嘥的秩是R(A) R(B)
所以 ， r (t) ≤ r (a) n 。
此外 ， R(T)≤R(H)
所以 ， r (a) r (b) ≤ r (ab) n 。
【高等代數(shù)矩陣的秩 線性代數(shù)矩陣秩常用等式和不等式】即r (ab) ≥ r (a) r (b)-n 。
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