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外接圓的圓心是什么 外接圓的圓心是什么的交點(diǎn)

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外接圓的圓心是什么 外接圓的圓心是什么的交點(diǎn)


1.垂心：
〈1〉定義：是三角形三條高的交點(diǎn) 。
〈2〉性質(zhì)：
[性質(zhì)1] 銳角三角形的垂心在三角形內(nèi);直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上;鈍角三角形的垂心在三角形外 。
[性質(zhì)2] 三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心;或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心 。
[性質(zhì)3] 垂心O關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)，均在△ABC的外接圓圓上 。
[性質(zhì)4] △ABC中，有六組四點(diǎn)共圓，有三組(每組四個(gè))相似的直角三角形，。
[性質(zhì)5]O、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱這樣的四點(diǎn)為–垂心組) 。
[性質(zhì)6] △ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圓是等圓 。
[性質(zhì)7] 三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍 。
[性質(zhì)8]設(shè)O、 H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC, ∠BCO=∠HCA.
[性質(zhì)9] 銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍，即 AH+BH+CH = 2（r+R） 。
[性質(zhì)10] 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心;銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短 。
[性質(zhì)11] 設(shè)H為非直角三角形的垂心，且D、E、F分別為H在BC，CA, AB.上的射影，H1,H2，H3分別為△AEF,△BDF，△CDE的垂心，則△DEF≌△H1 H2H3.
[性質(zhì)12] 三角形垂心H的垂足三角形的三邊，分別平行于原三角形外接圓在各頂點(diǎn)的切線 。
2.內(nèi)心
〈1〉定義：是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn) 即內(nèi)接圓的圓心 。
即AE、BF、CD分別平分角BAC、角ABC、角BCA，且AE、BF與CD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為△ABC的內(nèi)心 。
〈2〉性質(zhì)：
[性質(zhì)1] 三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等,都等于內(nèi)切圓半徑r.
[性質(zhì)2] ∠ BOC=90°+∠BAC/2 。
[性質(zhì)3] 在Rt△ABC中,∠A=90°,三角形內(nèi)切圓切BC于D，則S△ABC=BDxCD
3.重心：
〈1〉重心的定義：重心是三角形三條中線的交點(diǎn) 。
〈2〉重心的性質(zhì)：
[性質(zhì)1] 三角形的重心到邊的中心與到這條邊所對(duì)的頂點(diǎn)的距離之比為1:2，即OD：OA = 1：2 ；
OE：OC = 1：2 ；
OF：OB = 1：2。
[性質(zhì)2] 重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等，即S△AOB=S△BOC=S△AOC 。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比 。
[性質(zhì)3] 重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小 。
[性質(zhì)4] 在平面直角坐標(biāo)系中,重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù) 。即在△ABC中，若點(diǎn)A（X1、Y1）、B（X2、Y2）、C（X3、Y3），則其重心點(diǎn)O的坐標(biāo)為{（X1+Ⅹ2+X3）/3、（Y1+Y2+Y3）/3} 。
4.外心：
【外接圓的圓心是什么 外接圓的圓心是什么的交點(diǎn)】〈1〉外心的定義：外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，即外接圓的圓心 。
〈2〉外心的性質(zhì)：
[性質(zhì)1] 若O是△ABC的外心,則∠BOC=2∠A（∠A為銳角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A為鈍角） 。
[性質(zhì)2] 當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí),外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí),外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時(shí),外心在斜邊上,與斜邊的中點(diǎn)重合 。
[性質(zhì)3] 外心到三頂點(diǎn)的距離相等，即OA=OB=OC 。
5.旁心：
〈1〉旁心的定義：
是三角形兩條外角平分線和一條內(nèi)角平分線的交點(diǎn) 。
〈2〉旁心的性質(zhì)：
[性質(zhì)1] 旁心到三角形三邊的距離相等，即OE=OF=OG 。
[性質(zhì)2]任何三角形都有3個(gè)旁心，且不相鄰的內(nèi)角平分線過旁心 。
[性質(zhì)3] 任意一個(gè)三角形都有三個(gè)旁切圓，三個(gè)旁心 。旁心一定在三角形外 。即⊙O1、⊙O2、⊙O3是△ABC的三個(gè)旁切圓，〇1、〇2、〇3是△ABC的3個(gè)旁心，它們都在△ABC的外部 。

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