如何理解拓撲不變量？
簡單來說 ， 拓撲不變量就是拓撲空間在同胚映射下保持不變的性質(zhì) 。而同胚映射指的是兩個拓撲空間之間的滿足雙射、連續(xù)且逆映射連續(xù)的映射 。應(yīng)該說拓撲不變量是拓撲學的核心 ， 因為拓撲學就是研究拓撲不變量的數(shù)學學科 。比較簡單的拓撲不變性質(zhì) ， 例如(曲線)連通性 ， 簡單一點來說就是拓撲空間中任意兩點之間可以用曲線連接 。比如一個皮球表面的兩點之間可以找到一條線去連接 ， 那么對皮球隨便怎么捏 ， 只要不破壞它 ， 那么仍然可以找到一條線去連接這兩個點 。
直觀一點來看 ， 拓撲不變量與形狀位置大小等因素都沒有關(guān)系 。顯然 ， 這種情況下 ， 長度面積體積等幾何性質(zhì)都可能會改變 。拓撲不變量很大程度上“決定”了一個拓撲空間的性態(tài) ， 所以將拓撲空間進行同胚分類就成為了拓撲學中的一個核心問題 。但對于兩個拓撲空間而言 ， 多數(shù)情況下很難直接判斷出它們是否同胚 ， 所以數(shù)學家們發(fā)展出了一套利用拓撲不變量去判斷是否同胚的方法 。
可以看到 ， 拓撲不變量與同胚之間應(yīng)該是相互聯(lián)系與制約的 。因此除了傳統(tǒng)的連通性 ， 緊致性 ， 分離性等傳統(tǒng)的拓撲不變量外 ， 還發(fā)展了諸如基本群 ， 同倫群 ， 單純同調(diào)群 ， 虧格等更深刻的拓撲不變量 ， 這些直接影響了代數(shù)拓撲學的發(fā)展 。拓撲不變量不僅對數(shù)學本身來說很重要 ， 在物理學領(lǐng)域中也發(fā)揮著深刻的作用 ， 最先在物理中出現(xiàn)的拓撲不變量來自于Berry相位 。
【ArcGIS拓撲規(guī)則說明一,拓撲關(guān)系】伽莫夫在 1961 年曾經(jīng)評論說：“只有數(shù)論及拓撲學沒有物理應(yīng)用 ?！比欢芸爝@句話就失效了 ， 1970 至 80 年代之間 ， 量子場論的瞬子論、非交換規(guī)范理論與廣義相對論里的正質(zhì)量定理都是由許多數(shù)學家和物理學家合作 ， 運用了拓撲與幾何理論才建立證明的 。運用拓撲性質(zhì)對量子霍爾效應(yīng)的全新研究更是獲得了2016年諾貝爾物理學獎 。
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