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AXIOM,Interface

云知道

為什么ZF公理系統(tǒng)要包含空集定理？

AXIOM,Interface


所謂 ， 空集定理 ， 就是：空集公理：存在一個不含任何元素的集合 ， 即 ， ?X?u(u ? X)根據 ZFC 公理體系中的 ， (1) 外延公理（Axiom of Extensionality)：如果 X 和 Y 擁有相同的 元素 ， 則 X 與 Y 相等 ， 即 ， ?u(u ∈ X ? u ∈ X) → X = Y我們可確定 所有 空集合 都相等 ， 也就是說 空集 唯一 ， 我們將這個唯一的空集 記為 ? 。
為什么說 ， 空集公理 是 空集定理 呢？因為 它可以 從存在公理：存在一個集合 ， 即 ， ?X(X = X)推導出來 。利用 ZFC 公理體系中的 ， (3) 分離公理模式（Axiom Schema of Separation）： 如果 P 是一個 屬性 ， 則 對于任意 X 都存在 集合 Y 包含 所有 具有 屬性 P 的 X 的元素 ， 即 ， ?X?Y?u(u ∈ Y ? u ∈ X ∧ P(u))令 ， Y = {u ∈ X : P(u)} 。
【AXIOM,Interface】只需要令 ， P(x) := x ≠ x ， 其中 x ≠ x ? ?(x = x) ， “=” 來自 外延公理 ， 則：? = {u ∈ X : u ≠ u}首先 ， 存在公理 確保了 X 的存在 ， 其次 在 外延公理 下 所有 u 一定等于 自己 ， 和自己不相等的 u 不存在 ， 于是 u ≠ u 是永假的 ， 故 ， ? 不可能 含有任意元素 ， 即 ， ? 滿足 空集公理 。
反過來 ， 空集公理 確定了 空集 ? 的存在 ， 根據 外延公理 有 ，  ??(? = ?)  ， 這就推導出來了 ， 存在公理 。所以說： 空集公理 與 存在公理 在 ZFC 公理體系中 等價 ， 二者定義其一即可！佛曰：空既是色 ， 色即是空；道曰：有無相生 ， 此兩者同出而異名 ， 同謂之玄！ZFC公理系統(tǒng)并沒有直接包含 ， 空集公理（或 存在公理） ， 而是作為(6) 無限公理（Axiom of Infinity）：無限集合存在 。
的一部分 ， 而引入 ZFC 的 。具體來說：要定義無限集合 S ， 就先要有一個有限集合 ， 無疑 空集 ? 是最好的選擇 ， 規(guī)定：? ∈ S然后 ， 利用 ZFC公理系統(tǒng) 中的 ， (2) 結對公理（Axiom of Pairing）：對于任意 a 和 b 都存在 集合 {a ，  b} 恰好包括 a 和 b ， 即 ， ?a?b?c?x(x ∈ c ? x = a ∨ x = b)根據 外延公理 ，  c 是唯一的 ， 稱為 無序對 ， 記為 ， c = {a ，  b} ， 特別地 ，  x 和 自己 的無序對 是 單元素集 {x} 。
(3) 并公理（Axiom of Union)：任何集合 X 中所有的元素的并集 Y = ∪X 都存在 ， 即 ， ?X?Y?u(u ∈ Y ? ?z(z ∈ X ∧ u ∈ z))令 ， Y = {u : ?z(z ∈ X ∧ u ∈ z) } = ∪{z : z ∈ X } = ∪X 。可以定義 集合 a, b 的 并運算：a ∪ b = ∪{a, b}再根據 并運算 ， 定義 集合 x 的后繼運算：x? = x ∪ {x}接著 ， 規(guī)定：?x(x ∈ S → x? ∈ S)稱 同時滿足 以上 兩個 規(guī)定 的 集合 S 為 歸納集 。
顯然 ， 歸納集 是 無限集合 ， 于是 ， 無窮公理 就改寫為：存在一個歸納集 ， 即 ， ?S(? ∈ S ∧ ?x(x ∈ S → x? ∈ S))這樣 ， ? 是 歸納集 的第一個元素 ， 無窮公理 已經就蘊含了 空集公理（或 存在公理） 。[這里也就回答了題主的問題]無限公理 僅僅是 保證了 歸納集 的 存在性 ， 我們并不能確定 歸納集 唯一 ， 事實上 ， 存在無限多個歸納集 。

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