1899年 ， 法國學者貝特朗提出了貝特朗悖論，矛頭直指幾何概率概念本身：在一給定圓內所有的弦中任選一條弦，求該弦的長度長于圓的內接正三角形邊長的概率 。
悖論分析：
【如何正確地理解貝特朗悖論】由于對稱性，可預先固定弦的一端 。僅當弦與過此端點的切線的交角在60度到120度之間 ， 其長才合乎要求 。所有方向是等可能的，則所求概率為三分之一。此時假定端點在圓周上均勻分布；由于對稱性，可預先指定弦的方向 。作垂直于此方向的直徑，只有交直徑于四分之一點與四分之三點間的弦，其長才大于內接正三角形邊長 。所有交點是等可能的，則所求概率為二分之一 。此時假定弦的中心在直徑上均勻分布；弦被其中點位置唯一確定 。只有當弦的中點落在半徑縮小了一半的同心圓內，其長才合乎要求 。中點位置都是等可能的 ， 則所求概率為四分之一 。此時假定弦長被其中心唯一確定 。這導致同一事件有不同概率，因此為悖論 。
