以將向量組轉(zhuǎn)化為矩陣,將向量看作矩陣的列向量,然后對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換可以得到矩陣的階梯形式,得到矩陣的秩,即為向量組的極大線性無關(guān)組的向量的個(gè)數(shù) 。觀察矩陣可以看出互相線性無關(guān)的列向量,他們對(duì)應(yīng)的向量組中的向量即為一個(gè)極大線性無關(guān)組 。
極大線性無關(guān)組一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組是其最本質(zhì)的部分,對(duì)許多問題的研究起著非常重要的作用 。如確定矩陣的秩,討論線性方程組的基礎(chǔ)解系等 。
極大線性無關(guān)組是線性空間的基對(duì)向量集的推廣 。設(shè)V是域P上的線性空間，S是V的子集 。若S的一部分向量線性無關(guān) ， 但在這部分向量中 ， 加上S的任一向量后都線性相關(guān)，則稱這部分向量是S的一個(gè)極大線性無關(guān)組 。V中子集的極大線性無關(guān)組不是惟一的，例如，V的基都是V的極大線性無關(guān)組 。
它們所含的向量個(gè)數(shù)(基數(shù))相同 。V的子集S的極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)(基數(shù))，稱為S的秩 。只含零向量的子集的秩是零 。V的任一子集都與它的極大線性無關(guān)組等價(jià) 。特別地，當(dāng)S等于V且V是有限維線性空間時(shí) ， S的秩就是V的維數(shù) 。
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