第三定律
（F表示作用力,F\’表示反作用力,負號表示反作用力F\’與作用力F的方向相反）這三個非常簡單的物體運動定律,為力學(xué)奠定了堅實的基礎(chǔ),并對其他學(xué)科的發(fā)展產(chǎn)生了巨大影響.第一定律的內(nèi)容伽利略曾提出過,后來R.笛卡兒作過形式上的改進,伽利略也曾非正式地提到第二定律的內(nèi)容.第三定律的內(nèi)容則是牛頓在總結(jié)C·雷恩、J·沃利斯和C·惠更斯等人的結(jié)果之后得出的.牛頓是萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)者.他在1665～1666年開始考慮這個問題.萬有引力定律(Law of universal gravitation)是艾薩克·牛頓在1687年于《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》上發(fā)表的.1679年,R·胡克在寫給他的信中提出,引力應(yīng)與距離平方成反比,地球高處拋體的軌道為橢圓,假設(shè)地球有縫,拋體將回到原處,而不是像牛頓所設(shè)想的軌道是趨向地心的螺旋線.牛頓沒有回信,但采用了胡克的見解.在開普勒行星運動定律以及其他人的研究成果上,他用數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出了萬有引力定律.牛頓把地球上物體的力學(xué)和天體力學(xué)統(tǒng)一到一個基本的力學(xué)體系中,創(chuàng)立了經(jīng)典力學(xué)理論體系.正確地反映了宏觀物體低速運動的宏觀運動規(guī)律,實現(xiàn)了自然科學(xué)的第一次大統(tǒng)一.這是人類對自然界認(rèn)識的一次飛躍.牛頓指出流體粘性阻力與剪切率成正比.他說：流體部分之間由于缺乏潤滑性而引起的阻力,如果其他都相同,與流體部分之間分離速度成比例.現(xiàn)在把符合這一規(guī)律的流體稱為牛頓流體,其中包括最常見的水和空氣,不符合這一規(guī)律的稱為非牛頓流體.在給出平板在氣流中所受阻力時,牛頓對氣體采用粒子模型,得到阻力與攻角正弦平方成正比的結(jié)論.這個結(jié)論一般地說并不正確,但由于牛頓的權(quán)威地位,后人曾長期奉為信條.20世紀(jì),T·卡門在總結(jié)空氣動力學(xué)的發(fā)展時曾風(fēng)趣地說,牛頓使飛機晚一個世紀(jì)上天.關(guān)于聲的速度,牛頓正確地指出,聲速與大氣壓力平方根成正比,與密度平方根成反比.但由于他把聲傳播當(dāng)作等溫過程,結(jié)果與實際不符,后來P.-S.拉普拉斯從絕熱過程考慮,修正了牛頓的聲速公式.
數(shù)學(xué)方面的貢獻
創(chuàng)建微積分17世紀(jì)以來,原有的幾何和代數(shù)已難以解決當(dāng)時生產(chǎn)和自然科學(xué)所提出的許多新問題,例如：如何求出物體的瞬時速度與加速度?如何求曲線的切線及曲線長度（行星路程）、矢徑掃過的面積、極大極小值（如近日點、遠日點、最大射程等）、體積、重心、引力等等；盡管牛頓以前已有對數(shù)、解析幾何、無窮級數(shù)等成就,但還不能圓滿或普遍地解決這些問題.當(dāng)時笛卡兒的《幾何學(xué)》和沃利斯的《無窮算術(shù)》對牛頓的影響最大.牛頓將古希臘以來求解無窮小問題的種種特殊方法統(tǒng)一為兩類算法：正流數(shù)術(shù)（微分）和反流數(shù)術(shù)（積分）,反映在1669年的《運用無限多項方程》、1671年的《流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)》、1676年的《曲線求積術(shù)》三篇論文和《原理》一書中,以及被保存下來的1666年10月他寫的在朋友們中間傳閱的一篇手稿《論流數(shù)》中.所謂“流量”就是隨時間而變化的自變量如x、y、s、u等,“流數(shù)”就是流量的改變速度即變化率,寫作等.他說的“差率”“變率”就是微分.與此同時,他還在1676年首次公布了他發(fā)明的二項式展開定理.牛頓利用它還發(fā)現(xiàn)了其他無窮級數(shù),并用來計算面積、積分、解方程等等.1684年萊布尼茲從對曲線的切線研究中引入了和拉長的S作為微積分符號,從此牛頓創(chuàng)立的微積分學(xué)在大陸各國迅速推廣.微積分的出現(xiàn),成了數(shù)學(xué)發(fā)展中除幾何與代數(shù)以外的另一重要分支——數(shù)學(xué)分析（牛頓稱之為“借助于無限多項方程的分析”）,并進一步進進發(fā)展為微分幾何、微分方程、變分法等等,這些又反過來促進了理論物理學(xué)的發(fā)展.例如瑞士J.伯努利曾征求最速降落曲線的解答,這是變分法的最初始問題,半年內(nèi)全歐數(shù)學(xué)家無人能解答.1697年,一天牛頓偶然聽說此事,當(dāng)天晚上一舉解出,并匿名刊登在《哲學(xué)學(xué)報》上.伯努利驚異地說：“從這鋒利的爪中我認(rèn)出了雄獅”.微積分的創(chuàng)立是牛頓最卓越的數(shù)學(xué)成就.牛頓為解決運動問題,才創(chuàng)立這種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)理論的,牛頓稱之為\”流數(shù)術(shù)\”.它所處理的一些具體問題,如切線問題、求積問題、瞬時速度問題以及函數(shù)的極大和極小值問題等,在牛頓前已經(jīng)得到人們的研究了.但牛頓超越了前人,他站在了更高的角度,對以往分散的結(jié)論加以綜合,將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統(tǒng)一為兩類普通的算法——微分和積分,并確立了這兩類運算的互逆關(guān)系,從而完成了微積分發(fā)明中最關(guān)鍵的一步,為近代科學(xué)發(fā)展提供了最有效的工具,開辟了數(shù)學(xué)上的一個新紀(jì)元.牛頓沒有及時發(fā)表微積分的研究成果,他研究微積分可能比萊布尼茨早一些,但是萊布尼茨所采取的表達形式更加合理,而且關(guān)于微積分的著作出版時間也比牛頓早.在牛頓和萊布尼茨之間,為爭論誰是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時候,竟然引起了一場悍然大波,這種爭吵在各自的學(xué)生、支持者和數(shù)學(xué)家中持續(xù)了相當(dāng)長的一段時間,造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國數(shù)學(xué)家的長期對立.英國數(shù)學(xué)在一個時期里閉關(guān)鎖國,囿于民族偏見,過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前,因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年.1707年,牛頓的代數(shù)講義經(jīng)整理后出版,定名為《普遍算術(shù)》.他主要討論了代數(shù)基礎(chǔ)及其(通過解方程)在解決各類問題中的應(yīng)用.書中陳述了代數(shù)基本概念與基本運算,用大量實例說明了如何將各類問題化為代數(shù)方程,同時對方程的根及其性質(zhì)進行了深入探討,引出了方程論方面的豐碩成果,如:他得出了方程的根與其判別式之間的關(guān)系,指出可以利用方程系數(shù)確定方程根之冪的和數(shù),即“牛頓冪和公式”.牛頓對解析幾何與綜合幾何都有貢獻.他在1736年出版的《解析幾何》中引入了曲率中心,給出密切線圓(或稱曲線圓)概念,提出曲率公式及計算曲線的曲率方法.并將自己的許多研究成果總結(jié)成專論《三次曲線枚舉》,于1704年發(fā)表.此外,他的數(shù)學(xué)工作還涉及數(shù)值分析、概率論和初等數(shù)論等眾多領(lǐng)域.牛頓在前人工作的基礎(chǔ)上,提出“流數(shù)(fluxion)法”,建立了二項式定理,并和G.W.萊布尼茨幾乎同時創(chuàng)立了微積分學(xué),得出了導(dǎo)數(shù)、積分的概念和運算法則,闡明了求導(dǎo)數(shù)和求積分是互逆的兩種運算,為數(shù)學(xué)的發(fā)展開辟了一個新紀(jì)元.二項式定理在一六六五年,剛好二十二歲的牛頓發(fā)現(xiàn)了二項式定理,這對于微積分的充分發(fā)展是必不可少的一步.二項式定理在組合理論、開高次方、高階等差數(shù)列求和,以及差分法中有廣泛的應(yīng)用.二項式級數(shù)展開式是研究級數(shù)論、函數(shù)論、數(shù)學(xué)分析、方程理論的有力工具.在今天我們會發(fā)覺這個方推廣形式
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